"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Таблица производных собирает формулы, с помощью которых производную знакомой функции можно найти без повторного вычисления предела. Первообразная решает обратную задачу: по заданной функции находят функцию, производная которой ей равна. Все первообразные на промежутке отличаются на постоянную, поэтому к найденной формуле добавляют C. Табличные формулы и правила работы с суммой и постоянным множителем помогают быстро дифференцировать и интегрировать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная элементарной функции — формула, задающая производную одной из основных функций, например xⁿ или sin x. Такие формулы записывают в таблицу производных. Она нужна, чтобы находить производные знакомых функций сразу, не вычисляя каждый раз предел по определению.
Первообразная функции f на промежутке — функция F, производная которой на этом промежутке равна f: F′(x) = f(x). Например, для f(x) = 2x первообразной служит x², потому что (x²)′ = 2x. Это определение помогает проверять найденный ответ: достаточно продифференцировать F.
Семейство первообразных — все функции вида F(x) + C, где F — одна первообразная, а C — произвольная постоянная. Например, для 2x это x² + C. Запись семейства нужна потому, что одна и та же функция может быть производной бесконечного числа функций, отличающихся постоянным слагаемым.
Таблица производных и первообразных — набор формул для основных элементарных функций. В ней рядом располагаются функция, её производная и первообразная. Такая запись позволяет выбирать нужную формулу в зависимости от задачи: дифференцировать выражение или искать функцию с заданной производной.
Табличные производные получают из определения производной и известных пределов. Например, для степенной функции предел отношения приращений после преобразований приводит к формуле (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. После того как формула доказана, в похожих задачах достаточно узнать функцию и применить запись из таблицы. Это экономит вычисления, но не отменяет необходимости следить за областью, где функция определена.
Для суммы функций приращение суммы равно сумме приращений, а предел суммы равен сумме пределов. Поэтому производная суммы находится почленно: каждое слагаемое дифференцируют отдельно. Если функция умножена на постоянное число, этот множитель сохраняется при вычислении производной. Эти правила позволяют применять таблицу к выражениям, которые состоят из нескольких табличных функций.
Первообразная связана с дифференцированием в обратном направлении. Чтобы проверить кандидата F, находят F′ и сравнивают результат с заданной функцией f. Если F′ = f на всём рассматриваемом промежутке, то определение выполнено. Поэтому при поиске первообразной полезно не только подбирать формулу по таблице, но и проверять её производной.
Если F′ = f, то (F + C)′ = F′ + C′ = f, потому что производная постоянной равна нулю. Значит, прибавление C не меняет производную и даёт другие первообразные той же функции. Обратно, если две функции имеют одинаковую производную на промежутке, производная их разности равна нулю, а такая разность постоянна. Поэтому все первообразные на промежутке записывают как F + C.
Формулы первообразных получают, обращая формулы производных: ищут функцию, у которой при дифференцировании получится нужное выражение. Так, поскольку (xⁿ⁺¹)′ = (n + 1)xⁿ, первообразной xⁿ при n ≠ −1 будет xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. При n = −1 знаменатель обращается в ноль, поэтому этот случай рассматривают отдельно: первообразная 1/x — ln|x| + C. Модуль позволяет учитывать и положительные, и отрицательные значения x, если промежуток не содержит ноль.
В третьем столбце записано семейство первообразных, поэтому в каждой формуле присутствует C. Для производной выбирай второй столбец, а для поиска первообразной — третий. Перед применением формулы проверь, что функция определена на рассматриваемом промежутке.
| Функция f(x) | Производная f′(x) | Первообразная F(x) при F′(x) = f(x) |
|---|---|---|
| c, где c — постоянная | 0 | cx + C |
| x | 1 | x²/2 + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | n·xⁿ⁻¹ | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | −1/x² | ln|x| + C |
| √x | 1/(2√x) | (2/3)x^(3/2) + C |
| sin x | cos x | −cos x + C |
| cos x | −sin x | sin x + C |
| eˣ | eˣ | eˣ + C |
| aˣ, a > 0, a ≠ 1 | aˣ ln a | aˣ/ln a + C |
| 1/cos² x | 2·tg x/cos² x | tg x + C |
Выражение состоит из трёх слагаемых, поэтому сначала используем правило производной суммы. Коэффициенты 4, −3 и 2 — постоянные множители, их сохраняем. Затем для каждой функции отдельно выбираем строку таблицы. Такой порядок помогает не потерять ни множитель, ни знак.
Ответ: y′ = 20x⁴ − 3cos x + 2eˣ. Здесь постоянные коэффициенты остались при соответствующих производных, а знак второго слагаемого сохранился. Для проверки можно мысленно продифференцировать каждое слагаемое исходной функции отдельно. Результат совпадает с найденной формулой.
Ищем функцию, производная которой даст все три слагаемых f(x). Поэтому подбираем первообразную отдельно для 6x², −2cos x и 1, сохраняя коэффициенты. В конце объединяем результаты и добавляем одну произвольную постоянную C. Подстановка производной поможет проверить и коэффициенты, и знаки.
Ответ: F(x) = 2x³ − 2sin x + x + C. При дифференцировании получаем 6x² − 2cos x + 1, так как C исчезает. Значит, формула даёт все первообразные заданной функции. Если оставить без C, получится только одна из них.
Промежуток состоит из положительных x, поэтому выражение ln x определено; в общей формуле можно также использовать ln|x|. Первую часть ищем по формуле для x, вторую — по отдельной формуле для 1/x. Затем складываем части, прибавляем C и обязательно проверяем результат дифференцированием. Такая проверка подтверждает, что оба слагаемых восстановлены правильно.
Ответ: F(x) = x² + ln x + C на промежутке (0; +∞). Производная совпала с исходной функцией, следовательно, проверка пройдена. Если бы рассматривался отрицательный промежуток, запись ln|x| была бы необходима. Ноль нельзя включать в промежуток, потому что 1/x в нём не определена.
Иногда записывают только одну первообразную и забывают + C. Так бывает, когда результат воспринимают как обычное значение функции, а не как семейство ответов. Проверь себя: продифференцируй результат — он может оказаться верным, но к нему всё ещё можно прибавить любую постоянную. Для записи всех первообразных C обязательно.
Формулу xⁿ⁺¹/(n + 1) + C иногда применяют при n = −1 и получают деление на ноль. Ошибка возникает из-за того, что особый показатель забывают исключить из условия формулы. Перед подстановкой проверь, не равен ли показатель −1. Для 1/x используй отдельный ответ ln|x| + C.
Запись ln x для первообразной 1/x не учитывает отрицательные x. Её выбирают, потому что обычно сначала вспоминают область определения логарифма без модуля. Проверяй промежуток: на положительном промежутке допустимо ln x, а на отрицательном нужна запись ln|x|. В общем случае при x ≠ 0 формула первообразной — ln|x| + C.
При поиске первообразной cos x и sin x часто путают знаки. Причина в том, что в таблице производных у cos x уже стоит минус, а при обращении формулы нужно проверить результат. Продifferенцируй предполагаемый ответ: (sin x)′ = cos x, а (−cos x)′ = sin x. Если после проверки знак не совпал с исходной функцией, исправь его.
Для работы с таблицей нужны определение производной и правила дифференцирования суммы и постоянного множителя. Табличные производные применяют при исследовании функций: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы. Первообразная понадобится при изучении определённого интеграла. С помощью интегралов, в частности, вычисляют площади фигур.
Почему к первообразной обязательно прибавляют произвольную постоянную?
Производная любой постоянной равна нулю, поэтому у функций F(x) и F(x) + C производные совпадают. На одном промежутке любые две первообразные одной функции отличаются на постоянную.
Чем первообразная отличается от производной?
Производная получается из функции и показывает скорость её изменения. Первообразная, наоборот, — функция, производная которой равна заданной функции.
Как найти первообразную суммы функций?
Нужно найти первообразную каждого слагаемого отдельно, учитывая его коэффициент, а затем сложить результаты. В конце к общей формуле прибавляют произвольную постоянную C.
Почему для 1/x первообразная равна ln|x|, а не ln x?
Функция 1/x определена и при x < 0, а ln x — только при x > 0. Запись ln|x| учитывает оба промежутка, не содержащих ноль; производная ln|x| на них равна 1/x.
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Нужно продифференцировать найденную функцию. Если после упрощения получается исходная функция, формула является первообразной на рассматриваемом промежутке.
§ 58. Таблица производных. Первообразная
