§ 59. Неопределённый интеграл

Определения и обозначения

Первообразная — функция F(x), производная которой на данном промежутке равна заданной функции f(x): F′(x) = f(x). Иными словами, если продифференцировать F, получится f. Это понятие нужно, чтобы формулировать задачу восстановления функции по её производной.

Неопределённый интеграл — множество всех первообразных функции f(x), записываемое как ∫f(x)dx = F(x) + C. Символ F(x) обозначает одну из первообразных, а C учитывает остальные. Такая запись нужна, когда требуется описать не единственную функцию, а всё семейство решений.

Интегрирование — действие нахождения первообразной по заданной функции. Оно обратное дифференцированию: по известной производной ищут функцию, из которой она могла получиться. Интегрирование применяют, например, когда известна скорость изменения величины и нужно восстановить саму величину.

Постоянная интегрирования — произвольное число C, учитывающее все возможные первообразные одной функции. Она появляется потому, что производная любого постоянного числа равна нулю. Если не указать C, ответ будет содержать только одну первообразную и не опишет остальные.

Как это устроено

Если F′(x) = f(x), то и (F(x) + C)′ = f(x), поскольку производная суммы равна сумме производных, а C′ = 0. Поэтому к любой найденной первообразной прибавляют произвольную постоянную. Это не формальность: без C в записи осталась бы лишь одна функция из целого семейства. Например, все функции x²/2 + C имеют производную x.

Почему других вариантов нет? Пусть F и G — две первообразные одной функции f на промежутке. Тогда производная разности F − G равна F′ − G′ = f − f = 0. Функция, производная которой равна нулю на промежутке, постоянна на нём, значит, F − G = C. Следовательно, любые две первообразные отличаются только постоянной, и запись F(x) + C охватывает их все.

В записи ∫f(x)dx знак ∫ означает поиск первообразной, f(x) называется подынтегральной функцией, а dx указывает переменную интегрирования. Последнее особенно полезно, когда в выражении есть несколько переменных: по dx ищут первообразную именно относительно x. При чтении записи нужно помнить, что неопределённый интеграл — не число, а семейство функций.

Правила интегрирования следуют из правил дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных, поэтому первообразную суммы можно искать как сумму первообразных слагаемых. Если функция умножена на число a, то множитель можно вынести: производная aF равна aF′. Отсюда получаются формулы ∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx и ∫af(x)dx = a∫f(x)dx.

Проверка производной нужна потому, что при интегрировании легко ошибиться в степени, знаке или коэффициенте. Если продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию, вычисление подтверждено. При этом исходная функция должна быть определена на рассматриваемом промежутке: например, 1/x не существует при x = 0. Поэтому область определения и выбранный промежуток учитывают и в ответе, и при проверке.

Основные формулы неопределённых интегралов

Сначала упростите выражение и представьте его как сумму знакомых функций или постоянного множителя и функции. Для каждой части подберите формулу, а в конце добавьте C. В степенной формуле показатель увеличивается на единицу, после чего результат делят на новый показатель.

Разбор задач

Задача 1. Найти ∫(6x² − 4x + 5)dx и проверить результат дифференцированием. Выражение состоит из суммы трёх слагаемых, поэтому удобно интегрировать каждое отдельно. Коэффициенты 6 и −4 можно вынести, а к постоянному слагаемому применить формулу для x⁰.

1. Используем линейность: ∫(6x² − 4x + 5)dx = 6∫x²dx − 4∫x dx + 5∫dx.
2. По степенной формуле получаем 6 · x³/3 − 4 · x²/2 + 5x + C.
3. Упрощаем: 2x³ − 2x² + 5x + C. Проверяем: (2x³ − 2x² + 5x + C)′ = 6x² − 4x + 5.

Ответ: 2x³ − 2x² + 5x + C. При проверке постоянная исчезает, а остальные производные точно воспроизводят слагаемые исходного выражения. Значит, найдено всё семейство первообразных, а не только одна из них.

Задача 2. Найти ∫(2x + 1)⁵ dx. Здесь основание степени — не x, а выражение 2x + 1, поэтому напрямую применять формулу для xⁿ нельзя без поправки на производную внутренней функции. Заметим, что производная 2x + 1 равна 2, а производная (2x + 1)⁶ содержит дополнительный множитель 2.

1. Подбираем первообразную в виде A(2x + 1)⁶. По правилу цепочки её производная равна 12A(2x + 1)⁵.
2. Чтобы коэффициент перед степенью стал равен 1, выбираем 12A = 1, то есть A = 1/12.
3. Получаем (2x + 1)⁶/12 + C. Проверка: производная равна 6(2x + 1)⁵ · 2/12 = (2x + 1)⁵.

Ответ: (2x + 1)⁶/12 + C. Приём основан на обратном применении правила цепочки: внутреннее выражение при дифференцировании даёт множитель 2. Если забыть его учесть, проверка обнаружит лишний коэффициент.

Задача 3. Найти ∫(x² + 1)/x dx на промежутке x > 0. Дробь удобно разделить на слагаемые, чтобы получить знакомые функции. Условие x > 0 гарантирует, что выражение определено и ln|x| можно записать как ln x.

1. Преобразуем подынтегральную функцию: (x² + 1)/x = x + 1/x.
2. Разделяем интеграл: ∫(x + 1/x)dx = ∫x dx + ∫dx/x.
3. Применяем формулы: x²/2 + ln|x| + C. Так как задано x > 0, имеем ln|x| = ln x.

Ответ: x²/2 + ln x + C при x > 0. Проверка даёт производную x + 1/x, которая совпадает с преобразованной дробью. Если бы промежуток был x < 0, следовало бы оставить ln|x|.

Типичные ошибки

Иногда забывают +C и записывают только одну первообразную. Так происходит, когда воспринимают интегрирование как подбор единственного ответа, хотя прибавление любого числа не меняет производную. Проверка проста: добавьте к найденной функции, например, 7 — её производная останется той же. Поэтому в общем ответе постоянную интегрирования обязательно указывают.

В степенной формуле могут ошибочно написать ∫xⁿdx = xⁿ/n. Показатель при интегрировании сначала увеличивается на единицу, и только затем результат делится на новый показатель: xⁿ⁺¹/(n + 1). Ошибка возникает из-за смешения этой формулы с правилами дифференцирования. Чтобы проверить себя, продифференцируйте результат: производная правильной дроби должна быть xⁿ.

Запись ∫dx/x = ln x неверна без условия x > 0, потому что ln x определён только для положительных x. На любом промежутке, не содержащем нуль, общая формула имеет вид ln|x| + C. Модуль позволяет учесть и отрицательные значения x, но не разрешает переход через нуль, где 1/x не определена. Проверка производной ln|x| даёт 1/x.

При интегрировании выражения вроде (2x + 1)⁵ можно забыть, что производная внутреннего выражения равна 2. Тогда выбранная степень при дифференцировании даст лишний или недостающий коэффициент. Ошибку предотвращают подбором коэффициента перед предполагаемой первообразной. Надёжнее всего продифференцировать ответ и убедиться, что получается исходное выражение без дополнительных множителей.

Связь с другими темами

Чтобы находить неопределённые интегралы, нужно знать определение производной, таблицу производных и правила дифференцирования суммы и постоянного множителя: именно они объясняют формулы интегрирования. Дальше интегралы используют при вычислении площадей, нахождении определённых интегралов и решении простейших дифференциальных уравнений. При вычислениях также нужны алгебраические преобразования и тригонометрические формулы, а область определения помогает выбрать промежуток, на котором первообразная корректна.

Что запомнить

• Первообразная F(x) удовлетворяет условию F′(x) = f(x).
• Неопределённый интеграл — это F(x) + C, а не одна конкретная функция.
• Постоянная интегрирования обязательна в общем ответе.
• Интегрирование является действием, обратным дифференцированию.
• Интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно вынести.
• Результат интегрирования проверяют вычислением производной.
• Для ∫dx/x используется формула ln|x| + C.

Семейство первообразных одной функции можно представить как графики, сдвинутые по вертикали: производная у них одинаковая, потому что постоянная меняет только высоту графика.