"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши связывают поведение функции на всём отрезке с её производной хотя бы в одной точке внутри него. Они помогают находить точки с горизонтальной касательной, оценивать приращения, доказывать неравенства и выяснять, сколько корней имеет уравнение. Для применения нужно внимательно проверить непрерывность на замкнутом отрезке и дифференцируемость внутри него; у теоремы Ролля дополнительно должны совпадать значения на концах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Ролля утверждает: если функция непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема внутри него и f(a) = f(b), то найдётся c ∈ (a; b), для которой f′(c) = 0. Производная показывает наклон касательной, поэтому теорема гарантирует точку с горизонтальной касательной. Равенство на концах — особое условие именно этой теоремы.
Теорема Лагранжа о среднем значении: если f непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b), то существует c ∈ (a; b), такое что f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). Числитель — изменение функции, а знаменатель — длина отрезка, поэтому их отношение задаёт среднюю скорость изменения функции. Теорема позволяет связать её с мгновенной скоростью в одной точке.
Теорема Коши сравнивает две функции f и g: если обе непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b), то найдётся c ∈ (a; b), для которого (f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f′(c). Иными словами, приращения функций связаны с их производными в одной и той же внутренней точке. Эта форма полезна, когда нужно сравнить изменение двух функций, а не одной.
Почему в теореме Ролля появляется нулевая производная? Непрерывный график с равными значениями на концах либо остаётся на одном уровне, либо где-то между концами поднимается выше или опускается ниже него. В последнем случае наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, и в точке гладкости касательная горизонтальна. Если функция постоянна, её производная равна нулю во всех внутренних точках.
Теорему Лагранжа можно получить из теоремы Ролля, убрав общий наклон графика. Пусть прямая проходит через точки (a; f(a)) и (b; f(b)); вычтем её уравнение из f(x) и обозначим разность через h(x). На концах h(a) = h(b) = 0, значит, к h применима теорема Ролля. Равенство h′(c) = 0 после раскрытия производной и даёт формулу Лагранжа: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Геометрический смысл формулы Лагранжа — равенство наклонов касательной и секущей через концы дуги графика. Секущая показывает средний наклон на всём отрезке, а касательная — наклон в отдельной точке. Теорема обещает, что эти наклоны совпадут хотя бы однажды. Поэтому формула помогает оценивать общее изменение функции, даже если точку c мы не знаем.
Для перехода к теореме Коши нужно сравнить изменения двух функций, а не только одной. Рассмотрим вспомогательную функцию h(x) = (f(b) − f(a))(g(x) − g(a)) − (g(b) − g(a))(f(x) − f(a)). Она непрерывна на отрезке и принимает нулевые значения на обоих концах, поэтому к ней применима теорема Ролля. Равенство h′(c) = 0 после дифференцирования приводит к формуле Коши; при ненулевых производных её можно записать как отношение приращений, равное отношению производных.
Условия теорем отвечают за разные свойства графика и не заменяют друг друга. Непрерывность на замкнутом отрезке не позволяет графику иметь разрыв у концов, а дифференцируемость внутри гарантирует существование производной в точке, где применяется вывод. Если одно из условий нарушено, теорема может оказаться неприменимой, даже если остальные выполнены. Поэтому перед вычислениями проверяют каждое условие отдельно.
| Теорема | Условия | Заключение | Связь между теоремами |
|---|---|---|---|
| Ролля | Непрерывность на [a; b], дифференцируемость на (a; b), f(a) = f(b) | Существует c ∈ (a; b): f′(c) = 0 | Частный случай теоремы Лагранжа |
| Лагранжа | Непрерывность на [a; b], дифференцируемость на (a; b) | Существует c ∈ (a; b): f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a) | Получается из теоремы Ролля |
| Коши | Обе функции непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b) | Существует c ∈ (a; b): (f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f′(c) | Обобщает теорему Лагранжа на пару функций |
Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала выберите теорему по задаче и проверьте все её условия, затем запишите заключение с точкой внутри отрезка. Если работаете только с одной функцией, обычно достаточно теоремы Лагранжа, а при равных значениях на концах можно использовать Ролля. Когда нужно сопоставить приращения двух функций, подходит теорема Коши.
Задача 1. Проверить условия теоремы Ролля для f(x) = x² − 1 на отрезке [−1; 1] и найти подходящую точку. Функция является многочленом, а значит, непрерывна и дифференцируема при всех действительных x. Остаётся проверить равенство значений на концах и решить уравнение для производной.
Ответ: условия теоремы Ролля выполнены, c = 0.
Задача 2. Доказать, что |sin b − sin a| ≤ |b − a|. Если a = b, обе части равны нулю; иначе рассматриваем отрезок с концами a и b. Синус непрерывен и дифференцируем на всей числовой прямой, поэтому можно применить теорему Лагранжа.
Ответ: |sin b − sin a| ≤ |b − a|.
Задача 3. Доказать, что уравнение x³ + x − 1 = 0 имеет не более одного корня. Предположим обратное: пусть имеются два различных корня a и b. Тогда значения функции f(x) = x³ + x − 1 в этих точках равны нулю, и на отрезке между ними выполнены условия теоремы Ролля.
Ответ: уравнение имеет не более одного корня.
Применять теорему, не проверив непрерывность на [a; b] и дифференцируемость внутри, — значит пропустить условия, от которых зависит вывод. Часто проверяют только наличие производной, забывая, что в концах требуется непрерывность. Самопроверка: отдельно запишите, где нужна непрерывность и где нужна дифференцируемость, и обоснуйте оба пункта для выбранной функции.
Точка c из заключения не может совпадать с a или b: теоремы гарантируют её именно на открытом промежутке (a; b). Путаница появляется, когда используют слова «на отрезке» без уточнения границ. Проверьте ответ подстановкой в двойное неравенство a < c < b; равенство с концом не подходит.
В теореме Ролля нельзя забывать равенство f(a) = f(b). Оно необходимо, чтобы после вычитания концов возникло условие для применения теоремы; одной непрерывности и дифференцируемости недостаточно. Перед использованием Ролля вычислите оба значения функции и сравните их. Если они различаются, выбирайте теорему Лагранжа или другой метод.
Отношение (f(b) − f(a))/(b − a) в теореме Лагранжа — не производная на всём отрезке, а средний наклон секущей. Теорема утверждает равенство этому числу производной лишь в некоторой точке c внутри отрезка. Не следует записывать f′(x) равной этому отношению для каждого x. Самопроверка: в формуле заключения оставьте одну точку c и укажите, что c ∈ (a; b).
Для работы с теоремами нужны понятия непрерывности, производной и касательной: без них нельзя проверить условия или понять заключение. Теорема Лагранжа особенно удобна в доказательствах неравенств и оценках приращений, потому что выражает изменение функции через производную. Теоремы Ролля и Лагранжа помогают исследовать число корней: два корня могут привести к точке с нулевой производной. Теорема Коши сравнивает изменения двух функций и лежит в основе правила Лопиталя при вычислении пределов.
Почему теорема Ролля требует равенства значений на концах?
Если значения функции на концах равны, график возвращается к той же высоте. При непрерывности и дифференцируемости внутри отрезка между концами найдётся точка, где касательная горизонтальна, то есть производная равна нулю.
Чем теорема Лагранжа отличается от теоремы Ролля?
В теореме Ролля значения функции на концах должны быть одинаковыми, а заключение — существование точки с нулевой производной. Теорема Лагранжа не требует равенства значений: в некоторой внутренней точке производная равна отношению приращения функции к длине отрезка.
Как понять геометрический смысл теоремы Лагранжа?
Проведите секущую через концы дуги графика. Теорема утверждает, что найдётся точка дуги, в которой касательная параллельна этой секущей, потому что их угловые коэффициенты равны.
Обязательно ли находить точку, существование которой гарантирует теорема?
Нет, для многих доказательств достаточно знать, что такая точка существует, например чтобы оценить приращение или установить единственность корня. Если требуется вычислить точку, составьте уравнение из заключения теоремы и решите его.
Когда удобнее применять теорему Коши?
Теорема Коши полезна, когда нужно сравнить приращения двух функций на одном отрезке. Она также лежит в основе правила Лопиталя, которое применяют при вычислении некоторых пределов.
§ 60. «Французские» теоремы
