"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Неопределённый интеграл помогает восстановить функцию по её производной: если известна скорость изменения величины, можно найти семейство функций, которое ей соответствует. Каждая такая функция называется первообразной, а все первообразные записывают вместе, добавляя произвольную константу C. Для вычислений используют таблицу формул и свойства линейности. Правильность ответа легко проверить: достаточно продифференцировать найденную функцию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразная функции f на промежутке — это функция F, для которой F′(x) = f(x) в каждой точке этого промежутка. Иными словами, производная F показывает исходную функцию f. Такое определение нужно, чтобы задать задачу восстановления функции по известной скорости её изменения.
Неопределённый интеграл функции f — совокупность всех её первообразных, которую обозначают ∫f(x) dx. Запись означает не одну функцию, а целое семейство функций. Она позволяет кратко описать все решения задачи F′(x) = f(x).
Постоянная интегрирования C — произвольное постоянное слагаемое в записи первообразной. Её добавляют потому, что производная постоянной равна нулю и не влияет на результат дифференцирования. Благодаря C запись охватывает все первообразные одной функции.
Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, то есть нахождение первообразной. Если дифференцирование переводит функцию в её производную, интегрирование помогает пройти этот путь в обратном направлении. Так можно восстановить функцию, зная её производную.
При нахождении первообразной требуется восстановить функцию по заданной производной. Это обратная задача к дифференцированию: вместо вопроса «какова производная этой функции?» мы спрашиваем «какая функция могла дать такую производную?». Например, производная x² равна 2x, поэтому x² — первообразная для 2x. Такая связь объясняет, почему таблицу производных можно использовать для вычисления интегралов.
У одной функции обычно не одна, а бесконечно много первообразных, потому что к найденной функции можно прибавить любое постоянное число. Если F′ = f и G′ = f, то производная разности F − G равна f − f = 0. Функция с нулевой производной на промежутке постоянна, значит, F и G отличаются только константой. Поэтому все ответы объединяют записью + C, а не перечисляют по одному.
Знак ∫ объединяет в одной записи все первообразные, а dx указывает, по какой переменной выполняют интегрирование. Это особенно полезно, когда в выражении несколько переменных: обозначение помогает не спутать, какую именно величину считают переменной. Без dx запись была бы неполной и не показывала бы, к какой переменной относится операция. Поэтому стандартная форма интеграла — ∫f(x) dx.
Формулы интегрирования получают из таблицы производных, мысленно выполняя обратный переход. Если известна формула (sin x)′ = cos x, то ∫cos x dx = sin x + C. После применения формулы результат можно продифференцировать: так проверяют, что снова получается подынтегральная функция. Проверка особенно полезна, поскольку при интегрировании легко ошибиться в знаке или показателе степени.
Линейность производной объясняет, почему интеграл суммы можно разбить на интегралы слагаемых. Производная суммы равна сумме производных, поэтому первообразную суммы удобно искать, складывая первообразные отдельных функций. По той же причине постоянный множитель можно вынести: производная kF равна kF′, если k — постоянное число. Эти правила превращают сложное выражение в несколько более простых табличных интегралов.
| Функция под знаком интеграла | Первообразная | Условие |
|---|---|---|
| ∫xⁿ dx | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C | n ≠ −1 |
| ∫1/x dx | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| ∫eˣ dx | eˣ + C | |
| ∫aˣ dx | aˣ/ln(a) + C | a > 0, a ≠ 1 |
| ∫cos x dx | sin x + C | |
| ∫sin x dx | −cos x + C | |
| ∫(f(x) ± g(x)) dx | ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx | Линейность |
| ∫k f(x) dx | k∫f(x) dx | k — постоянная |
Сначала определите вид функции под знаком интеграла и найдите подходящую строку таблицы. Если выражение состоит из суммы или содержит постоянный множитель, примените свойства линейности и затем используйте табличные формулы. Условия в правом столбце помогают не применять формулу там, где она не работает.
Здесь подынтегральная функция — произведение числа 6 на степень x². Поэтому постоянный множитель удобно вынести, а к оставшейся степени применить формулу для ∫xⁿ dx. В конце добавим C, чтобы записать не одну первообразную, а все возможные.
Ответ: ∫6x² dx = 2x³ + C. Проверка: (2x³ + C)′ = 6x². Производная совпала с исходной функцией.
Под интегралом стоит разность двух слагаемых, каждое из которых есть табличная функция с постоянным множителем. Разобьём интеграл на два, не меняя знак второго слагаемого. Затем используем формулы для cos x и eˣ; проверить ответ можно дифференцированием каждого слагаемого.
Ответ: 3 sin x − 2eˣ + C. При дифференцировании получаем 3cos x − 2eˣ, то есть выражение под знаком интеграла. Знак минус сохраняется, потому что второе слагаемое в условии вычитается.
Сначала найдём все первообразные функции 2x + 1, не используя условие о точке. Полученное семейство содержит неизвестную константу C, которую можно определить по координатам точки графика. Условие прохождения через точку означает, что при x = 1 значение первообразной равно 4.
Ответ: F(x) = x² + x + 2. Проверка показывает, что F′(x) = 2x + 1, а F(1) = 4. Значит, функция удовлетворяет обоим условиям задачи.
Первая ошибка — записать одну первообразную и забыть + C. Так происходит, когда вычисление воспринимают как поиск единственного ответа, хотя интеграл обозначает всё семейство первообразных. Без C запись не охватывает функции, отличающиеся постоянным слагаемым. Проверьте себя: при дифференцировании ваша запись должна описывать не только один возможный результат, но и произвольное постоянное слагаемое.
Нельзя применять формулу ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n = −1, поскольку тогда знаменатель n + 1 равен нулю. Ошибка возникает, если не проверить условие формулы перед подстановкой показателя. Для x⁻¹ = 1/x используют отдельный результат ∫1/x dx = ln|x| + C. Подставьте значение n в условие таблицы до вычисления.
При интегрировании суммы иногда теряют слагаемое или неверно переносят знак. Причина часто в том, что выражение не разбивают на части перед применением формул. Интегрируйте каждое слагаемое отдельно, сохраняя перед ним исходный знак и коэффициент. Затем продифференцируйте ответ: пропущенное слагаемое сразу обнаружится.
Ещё одна ошибка — не проверять результат производной и поэтому не замечать неверный знак или показатель степени. Кажется, что достаточно вспомнить таблицу, но при нескольких действиях легко ошибиться в вычислении. Найдите производную полученного выражения и сравните её с подынтегральной функцией. Если они не совпали, значит, первообразная записана неверно.
Для интегрирования нужны определение производной, таблица производных и правила дифференцирования суммы и произведения на постоянный множитель. Именно они объясняют, откуда берутся формулы и свойства неопределённого интеграла. Если уверенно находить производные, вычисление первообразных становится обратной проверкой знакомых правил.
Неопределённый интеграл служит основой для изучения определённого интеграла. С его помощью в дальнейшем вычисляют, в частности, площади фигур, ограниченных графиками функций. Поэтому умение находить первообразные понадобится при переходе от обратной задачи дифференцирования к практическим вычислениям.
Почему к неопределённому интегралу всегда прибавляют C?
Потому что производная любой постоянной равна нулю, поэтому к одной первообразной можно прибавить любое число и получить другую. Запись + C включает все первообразные данной функции.
Как проверить, правильно ли найден неопределённый интеграл?
Нужно продифференцировать полученное выражение. Если производная совпала с функцией под знаком интеграла, ответ верен; постоянная C при этом исчезнет.
Почему первообразная функции 1/x записывается через ln|x|?
Область определения 1/x включает и положительные, и отрицательные x, но исключает ноль. Производная ln|x| равна 1/x на обеих частях области определения, поэтому модуль необходим.
Можно ли интегрировать сумму по слагаемым?
Да. Интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Это следует из линейности производной.
Чем неопределённый интеграл отличается от одной первообразной?
Первообразная — одна функция F, производная которой равна заданной f. Неопределённый интеграл обозначает всё семейство таких функций, то есть первообразную вместе с произвольной константой.
§ 1. Неопределённый интеграл
