"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Целые и дробно-рациональные уравнения отличаются тем, входит ли переменная в знаменатели выражений. Первые сводят к уравнениям с многочленами, а при решении вторых обязательно находят область допустимых значений. Общий знаменатель помогает убрать дроби, но найденные корни нужно проверить: некоторые из них могут не иметь смысла в исходном уравнении и оказаться посторонними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная не стоит в знаменателе рациональных выражений. После раскрытия скобок и переноса слагаемых его можно представить как P(x) = 0, где P(x) — многочлен. Поэтому для решения используют разложение многочлена на множители, формулы и методы решения многочленных уравнений.
Дробно-рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в знаменатель хотя бы одной дроби. Такие выражения определены не при всех значениях переменной. Поэтому перед преобразованиями нужно выяснить, какие значения вообще допустимы.
Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых каждый знаменатель уравнения отличен от нуля. Например, для дроби 1/(x − 2) условие ОДЗ имеет вид x ≠ 2. ОДЗ ограничивает множество возможных ответов и помогает не принять недопустимое значение за корень.
Посторонний корень — значение, появившееся после преобразований, но не являющееся корнем исходного уравнения. Обычно оно нарушает ОДЗ или не проходит проверку подстановкой. Такой корень обязательно исключают из окончательного ответа.
Целое рациональное уравнение сначала приводят к виду многочлена, равного нулю. Для этого раскрывают скобки, выполняют умножение одночленов и переносят все слагаемые в одну часть, меняя знак при переносе. В результате получают выражение P(x) = 0, с которым можно работать известными способами.
В дробно-рациональном уравнении сначала находят ОДЗ, потому что деление на ноль не определено. Для этого каждый знаменатель приравнивают к нулю и найденные значения исключают. Например, если знаменатели x и x − 1, то x ≠ 0 и x ≠ 1 ещё до начала основных вычислений.
Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель. Это удобно, потому что каждый знаменатель сокращается с соответствующим множителем, и остаётся уравнение без дробей. Преобразование равносильно исходному только на ОДЗ: там общий знаменатель не равен нулю, поэтому умножение обратимо.
Полученное целое уравнение решают обычными методами. Если это многочлен, его стараются разложить на множители, а затем используют правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. После этого получают кандидатов на корни и решают более простые линейные или квадратные уравнения.
В конце каждый кандидат сравнивают с ОДЗ и, при необходимости, подставляют в исходное уравнение. Значение, при котором знаменатель равен нулю, сразу отбрасывают. Подстановка нужна потому, что преобразования с переменными знаменателями могут расширить множество решений и породить посторонние корни.
| Признак | Целое рациональное уравнение | Дробно-рациональное уравнение |
|---|---|---|
| Переменная в знаменателе | Отсутствует | Присутствует хотя бы в одном знаменателе |
| Что проверить до решения | Обычно только корректность преобразований | ОДЗ: все знаменатели не равны нулю |
| Основной способ преобразования | Раскрыть скобки и привести к P(x) = 0 | Умножить обе части на общий знаменатель на ОДЗ |
| Что сделать с найденными корнями | Проверить в исходном уравнении при необходимости | Обязательно проверить по ОДЗ и в исходном уравнении |
Сначала определите, есть ли переменная в знаменателе: от этого зависит весь порядок решения. Для дробно-рационального уравнения строка об ОДЗ обязательна до умножения на общий знаменатель. Последняя проверка защищает от включения в ответ посторонних значений.
Переменная не находится в знаменателе, поэтому ОДЗ отдельно искать не нужно. Уравнение уже имеет вид многочлена, равного нулю. Удобнее всего разложить квадратный трёхчлен на множители.
Оба значения удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: x = 2; x = 3.
Переменная находится в знаменателе, поэтому начинаем с ОДЗ. Затем можно убрать дробь умножением обеих частей на x − 2, но только при условии x ≠ 2. После решения проверяем, не нарушает ли найденное значение это условие.
Ответ: x = 7/2.
Здесь два переменных знаменателя, поэтому важно одновременно исключить оба недопустимых значения. Общий знаменатель x(x − 1) позволит сократить все дроби. После этого останется линейное уравнение.
Ответ: x = 2.
Не записывают ОДЗ до преобразований. Тогда значение, обнуляющее знаменатель, может случайно попасть в ответ. Такая ошибка появляется, когда дробное уравнение решают как обычное многочленное; проверяйте каждый исходный знаменатель до начала вычислений.
Умножают на общий знаменатель, не учитывая возможность его равенства нулю. В этом случае умножение не является обратимым для всех чисел и равносильность теряется. Сначала выпишите условия, при которых общий знаменатель не равен нулю, и только потом выполняйте умножение.
Не умножают на общий знаменатель каждое слагаемое. Например, при умножении суммы нужно обработать каждый член отдельно, а не только первую дробь. Чтобы проверить себя, поставьте скобки вокруг всей левой и правой части перед умножением.
Считают все корни полученного многочлена корнями исходного уравнения. После избавления от знаменателей многочлен может иметь решения, запрещённые ОДЗ. Сверьте каждый кандидат с ограничениями и подставьте оставшиеся значения в исходное уравнение.
Для решения этих уравнений нужны правила действий с рациональными выражениями, разложение многочленов на множители, а также методы решения линейных и квадратных уравнений. Без этих навыков трудно правильно убрать скобки, сократить дроби и разобрать получившееся уравнение.
ОДЗ и проверка корней встречаются не только здесь. Те же приёмы нужны при решении неравенств, уравнений с радикалами и логарифмами, где ограничения на переменную определяют допустимость преобразований и ответ.
Как понять, является ли уравнение дробно-рациональным?
Проверьте, встречается ли переменная в знаменателе хотя бы одной дроби. Если переменная есть только в числителях, уравнение может быть целым рациональным.
Почему ОДЗ нужно записывать до решения?
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому такие значения сразу исключают из рассмотрения. Если сделать это позже, можно принять недопустимое значение за корень.
Можно ли умножать уравнение на выражение с переменной?
Можно, если заранее установлено, что это выражение не равно нулю на рассматриваемой ОДЗ. Тогда умножение сохраняет равносильность уравнения.
Почему после избавления от знаменателей появляются посторонние корни?
При умножении на выражение, которое вне ОДЗ может обратиться в ноль, преобразование рассматривает недопустимые значения. Такие значения могут удовлетворять полученному многочлену, но не исходному уравнению.
Нужно ли подставлять найденные корни в исходное уравнение?
Да, особенно если уравнение было преобразовано умножением на выражение с переменной. Сначала исключите значения, нарушающие ОДЗ, а затем при необходимости выполните подстановку.
§ 78. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения
