"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Система алгебраических уравнений или неравенств объединяет несколько условий с одними и теми же неизвестными. Решением считается только такой набор значений, который одновременно удовлетворяет каждому условию. Системы решают подстановкой, сложением, пересечением промежутков и другими равносильными преобразованиями. При работе с дробями, корнями и переменными множителями обязательно учитывают допустимые значения и проверяют ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система алгебраических уравнений — совокупность уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Обычно систему записывают фигурной скобкой, объединяя условия в одну запись. Такое обозначение показывает, что уравнения нельзя рассматривать независимо: нужен общий набор значений.
Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Для двух переменных это может быть пара (x; y), а геометрически — точка на координатной плоскости. Решение нужно проверить во всех уравнениях, а не только в том, с которого начинали преобразования.
Система алгебраических неравенств — совокупность неравенств с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Её решением может быть одно значение, промежуток или несколько промежутков. Поэтому результат часто записывают в виде объединения и пересечения числовых промежутков.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При переходе от одной системы к другой стремятся сохранить именно это множество. Если преобразование способно добавить или потерять решения, результат необходимо дополнительно проверить.
Решение системы уравнений находят как пересечение множеств решений каждого уравнения. Например, первое уравнение может задавать одну кривую, а второе — другую; подходят только их общие точки. Поэтому отдельное решение одного уравнения ещё не является решением системы, пока не проверено второе условие.
Систему удобно решать подстановкой, когда одну неизвестную легко выразить через другую. После подстановки число неизвестных уменьшается, потому что два связанных условия превращаются в одно уравнение. Найденное значение затем подставляют обратно, чтобы восстановить вторую переменную и проверить пару в исходной системе.
При решении используют преобразования, сохраняющие множество решений: складывают уравнения, переносят слагаемые, заменяют выражение равным ему выражением. Однако умножение на выражение, которое может быть нулём, или возведение в квадрат может изменить множество решений. Поэтому такие шаги сопровождают разбором особых случаев либо обязательной проверкой.
Решение системы неравенств получают пересечением промежутков, удовлетворяющих каждому неравенству. Сначала каждое условие решают отдельно и отмечают его на числовой прямой, затем оставляют только общую часть. Концы промежутков включают или не включают по знаку неравенства: ≤ и ≥ дают закрашенную точку, а < и > — пустую.
В системах с дробями и корнями сначала учитывают область допустимых значений, то есть значения, при которых исходные выражения имеют смысл. Знаменатель не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение при квадратном корне должно быть неотрицательным. После преобразований найденные значения проверяют и по этим ограничениям, и в исходной системе.
| Характеристика | Система уравнений | Система неравенств |
|---|---|---|
| Что означает решение | Набор значений, при котором верны все уравнения. | Набор значений, при котором выполнены все неравенства. |
| Как объединяются решения отдельных уравнений | Пересекаются множества решений уравнений. | Пересекаются множества решений неравенств. |
| Основные способы изображения результата | Пара чисел, набор значений, точки или множество точек. | Промежутки на числовой прямой или их объединение. |
| Что проверять после преобразований | Подстановку во все исходные уравнения и допустимость. | Знаки, границы промежутков и допустимость. |
Таблица помогает выбрать способ записи ответа по типу системы. В обоих случаях ключевым действием остаётся пересечение решений отдельных условий. Различие состоит главным образом в форме результата и в особенностях проверки.
Рассмотрим систему x + y = 7, x − y = 1. Здесь переменная y входит с противоположными коэффициентами, поэтому выгодно сложить уравнения. Такой шаг сразу исключает y и оставляет уравнение только для x.
Оба равенства верны, поэтому найденная пара действительно удовлетворяет системе. Ответ: (x; y) = (4; 3).
Теперь решим систему y = x² и y = 2x + 3. Оба уравнения выражают одну и ту же переменную y, значит их правые части можно приравнять. Так мы найдём абсциссы общих точек параболы и прямой.
Каждую найденную пару проверяем в обоих исходных уравнениях. Получаем ответы: (3; 9) и (−1; 1).
Решим систему x² − 5x + 6 ≤ 0, x − 1 > 0. В первом неравенстве сначала найдём корни квадратного трёхчлена, а затем определим промежуток, где он не положителен. Второе условие ограничит этот промежуток справа или слева.
Точка 2 входит в ответ, потому что первое неравенство допускает равенство, а условие x > 1 ей не мешает. Точка 3 также включается. Ответ: x ∈ [2; 3].
Считать решением набор, который удовлетворяет только одному уравнению или неравенству, — значит забыть о совместности условий. Так происходит, когда каждую часть системы решают отдельно и не пересекают результаты. Проверьте ответ подстановкой во все строки системы.
При умножении уравнения на выражение, которое может быть равно нулю, можно потерять или добавить решения. Ошибка возникает, если сразу сокращают такой множитель, не рассматривая его нулевое значение. Выпишите условие, при котором множитель равен нулю, и проверьте этот случай отдельно.
При умножении неравенства на выражение с неизвестным нельзя заранее сохранять знак. Его знак может быть положительным или отрицательным, а при отрицательном множителе знак неравенства меняется. Разбейте решение на случаи по знаку множителя и сравните результат с исходным условием.
Забывать область допустимых значений при дробях и корнях особенно легко после длинных преобразований. Тогда в ответ попадают значения с нулевым знаменателем или недопустимым подкоренным выражением. До решения выпишите ограничения, а в конце исключите все нарушающие их значения.
Для систем нужны способы решения линейных и квадратных уравнений, свойства неравенств и правила преобразования выражений. При системах неравенств необходимо уверенно отмечать промежутки на числовой прямой и находить их пересечение. Эти навыки применяются при исследовании функций, решении задач с несколькими условиями и изучении уравнений и неравенств с параметрами.
Почему решение системы должно удовлетворять всем уравнениям сразу?
Система задаёт несколько условий, которые действуют одновременно. Если набор удовлетворяет только одному уравнению, он не выполняет всю систему и решением не является.
Чем решение системы уравнений отличается от решения системы неравенств?
У системы уравнений решением обычно является набор отдельных значений переменных или точек. У системы неравенств решение часто образует промежуток или объединение промежутков, найденных пересечением условий.
Как понять, равносильны ли две системы?
Две системы равносильны, если у них совпадают множества решений. Для этого преобразования не должны добавлять новые решения или исключать существующие.
Когда при решении системы удобно использовать подстановку?
Подстановка удобна, когда из одного уравнения легко выразить одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют во второе уравнение, после чего находят оставшуюся переменную.
Зачем проверять найденные значения в исходной системе?
Проверка показывает, удовлетворяют ли значения всем исходным условиям. Она помогает обнаружить посторонние корни, появившиеся после возведения в квадрат, сокращения или другого преобразования.
§ 79. Системы алгебраических уравнений и неравенств
