§ 1. Высказывания и предикаты

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, которому можно однозначно приписать значение «истина» или «ложь». Например, «7 — простое число» является высказыванием. Вопрос и приказ не утверждают факт, поэтому определить их истинность нельзя.

Истинность высказывания — соответствие его содержания действительности. Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно, а «5 больше 8» ложно. Ложность не мешает предложению быть высказыванием: главное, что оно утверждает нечто проверяемое.

Предикат — предложение с переменной, которое становится высказыванием после подстановки допустимого значения вместо переменной. Например, «x больше 4» при x = 6 превращается в истинное утверждение, а при x = 2 — в ложное. Предикаты позволяют описывать свойства сразу целой группы объектов.

Область определения предиката — множество допустимых значений переменной, а множество истинности — его часть, на которой предикат истинен. Для предиката x² = 9 на целых числах область определения — все целые числа, а множество истинности — {−3, 3}. Указание области нужно, чтобы не включать в ответ недопустимые значения.

Как это устроено

Высказывание должно быть утверждением с определённым смыслом: иначе проверить его на истинность или ложность невозможно. Предложение «7 — простое число» утверждает факт, который можно проверить, поэтому имеет значение истинности. Вопрос «Какое число простое?» только запрашивает информацию, а приказ «Откройте тетрадь» требует действия. Ни вопрос, ни приказ не сообщают факт, которому можно было бы приписать истину или ложь.

Истинность зависит от содержания предложения, а не от того, относится ли оно к математике. Высказывание «Вода кипит при температуре 100 °C при нормальном атмосферном давлении» истинно, поскольку соответствует действительности с указанным условием. Высказывание «Каждое простое число чётное» ложно: например, 3 — простое, но нечётное. Оба предложения остаются высказываниями, потому что каждое утверждает факт, который можно оценить.

Переменная делает предложение зависимым от выбранного значения, поэтому до подстановки обычно нельзя определить его истинность. В записи «x делится на 2» неизвестно, о каком числе идёт речь. Если область определения — целые числа, то при x = 8 получаем истинное высказывание, а при x = 7 — ложное. Именно поэтому перед проверкой предиката выбирают значение переменной из заданной области.

Чтобы найти множество истинности, нужно установить все допустимые значения переменной, при которых условие верно. Например, для x² = 9 решениями будут −3 и 3, и оба входят в область целых чисел. Если тот же предикат задан на натуральных числах, отрицательное число −3 исключается, поэтому множество истинности меняется. Для уравнения это множество его корней с обязательной проверкой принадлежности области определения.

Предикаты могут включать логические связки и отрицание, потому что несколько условий можно соединять или менять на противоположные. Отрицание предиката «x делится на 2» означает «x не делится на 2», а не просто другую запись того же условия. Оно истинно ровно в тех случаях, когда исходный предикат ложен. Поэтому множество истинности отрицания получается как дополнение исходного множества в области определения.

Высказывание и предикат

Пользуйся таблицей, чтобы сначала проверить, есть ли в предложении переменная, а затем выяснить, когда можно оценить его истинность. Если рассматривается предикат, обязательно уточни область определения. Только после этого можно правильно составить множество истинности.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие предложения являются высказываниями: «12 делится на 3», «Закройте учебник», «Существует ли наибольшее простое число?». Для каждого предложения выясним, утверждает ли оно факт, который может быть истинным или ложным. Само по себе наличие слов о математике ещё не делает предложение высказыванием.

1. «12 делится на 3» — повествовательное утверждение. Оно истинно, так как 12 = 3 · 4, следовательно, это высказывание.
2. «Закройте учебник» — приказ, а не утверждение. Его нельзя оценить как истинный или ложный, поэтому это не высказывание.
3. «Существует ли наибольшее простое число?» — вопрос. Он не утверждает факт, значит, высказыванием не является.

Ответ: высказывание только первое предложение. Второе является приказом, третье — вопросом. Оба не имеют значения истинности.

Задача 2. Для предиката P(x): «x² = 9» на множестве целых чисел укажите область определения и множество истинности. Сначала отделим заданное множество целых чисел от условия уравнения, а затем найдём значения, удовлетворяющие условию. Это не позволит случайно добавить в ответ числа, которые не входят в область.

1. По условию переменная x может принимать любые целые значения. Значит, область определения — множество целых чисел ℤ.
2. Решим уравнение: x² = 9, откуда x = 3 или x = −3. Оба найденных значения являются целыми.
3. Проверка даёт 3² = 9 и (−3)² = 9. Следовательно, оба значения делают предикат истинным.

Ответ: область определения — ℤ, множество истинности — {−3, 3}. Важно, что корни не просто найдены, но и проверены на принадлежность области определения. Здесь оба корня допустимы.

Задача 3. На множестве натуральных чисел задайте множество истинности предиката «x делится на 2» и его отрицания. Сначала перечислим значения, для которых исходный признак выполняется, а затем используем определение отрицания. Так мы не перепутаем его с другим независимым условием.

1. Область определения — натуральные числа ℕ. В ней на 2 делятся числа 2, 4, 6, 8 и так далее, то есть все натуральные числа вида 2k, где k ∈ ℕ.
2. Отрицание исходного предиката — «x не делится на 2». Оно истинно для натуральных чисел 1, 3, 5, 7 и так далее, то есть чисел вида 2k − 1.
3. Эти два множества не пересекаются и вместе дают всю область определения. Поэтому отрицание задаёт дополнение множества чётных натуральных чисел среди натуральных чисел.

Ответ: исходный предикат истинен для чётных натуральных чисел, отрицание — для нечётных натуральных чисел. Оба множества рассматриваются внутри ℕ. Если изменить область определения, дополнение также будет определяться относительно неё.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вопрос или приказ высказыванием. Их принимают за высказывания, потому что это грамматически законченные предложения, но законченности недостаточно: они не утверждают факт. Проверь себя вопросом: можно ли сказать, что предложение истинно или ложно, не отвечая на него и не выполняя приказ? Если нельзя, это не высказывание.

Вторая ошибка — исключать ложные утверждения из числа высказываний. Иногда кажется, что высказыванием может быть только верное сообщение, но определение допускает оба значения истинности. Например, «12 меньше 5» ложно, однако его содержание можно проверить. Чтобы проверить себя, спроси не «верно ли это?», а «является ли это утверждением с определённым смыслом?».

Третья ошибка — искать множество истинности без учёта области определения. Тогда в ответ могут попасть корни уравнения, которые не разрешено подставлять, или значения вне заданного множества. Ошибку допускают, если сразу решают уравнение и не сверяются с условием. Проверяй каждое найденное значение: оно должно и удовлетворять предикату, и принадлежать области определения.

Четвёртая ошибка — путать предикат с высказыванием. Предложение с переменной воспринимают как уже истинное или ложное, хотя результат зависит от выбранного значения. Подстановка числа из области определения превращает предикат в высказывание, а связанный квантором предикат тоже может образовать высказывание. Для самопроверки найди переменную и выясни, задано ли её значение.

Связь с другими темами

Для работы с предикатами нужны навыки, которые встречаются при изучении переменных и множеств. Нужно отличать переменную от её конкретного значения, уметь выбирать значения из заданного множества и подставлять их в выражение. Эти действия позволяют понять, при каких условиях предложение становится истинным.

Высказывания и предикаты служат основой для изучения логических операций и кванторов, которые описывают связи между утверждениями и объектами. Они также помогают точнее понимать уравнения и неравенства: решения таких условий образуют множества истинности с учётом области определения. Поэтому проверка допустимых значений важна не только в логике, но и при решении математических задач.

Что запомнить

• Высказывание — повествовательное предложение с определённым значением истинности.
• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Предикат содержит переменную и зависит от её значения.
• Значения переменной выбирают только из области определения.
• Множество истинности состоит из допустимых значений, при которых предикат истинен.
• Отрицание предиката истинно ровно для тех допустимых значений, для которых исходный предикат ложен.