§ 3. Кванторы. Структура теорем

Определения и обозначения

Предикат — высказывание с переменной, истинность которого зависит от её значения. Например, P(x): x² = 9 — предикат: при подстановке x = 3 получаем истинное высказывание, а при x = 2 — ложное. Подстановка превращает запись с переменной в утверждение с определённой истинностью. Это позволяет изучать свойства сразу для целого множества значений.

Квантор всеобщности обозначается ∀ и читается «для любого» или «для всех». Запись ∀x∈M P(x) означает, что предикат P(x) должен быть истинным при каждом x из множества M. Квантор указывает не отдельный пример, а требование ко всей области рассмотрения. Благодаря этому можно кратко формулировать общие свойства.

Квантор существования обозначается ∃ и читается «существует». Запись ∃x∈M P(x) означает, что в множестве M найдётся хотя бы одно значение x, при котором P(x) истинно. Для подтверждения такого утверждения достаточно привести подходящее значение. Квантор помогает выразить наличие объекта с нужным свойством.

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливается доказательством. В ней условие задаёт предпосылки, а заключение — то, что из них требуется вывести; условие связывается с заключением словами «если…, то…». Так теорему представляют как импликацию: если выполнено условие, то верно заключение. Это разделение помогает понять, что именно нужно принять и что доказать.

Как это устроено

Если в предикате P(x) подставить число, получится обычное высказывание, которое может быть истинным или ложным. Но иногда значение переменной не подставляют: вместо этого уточняют, какие значения рассматриваются или какому условию они должны удовлетворять. Например, фраза «x² = 9» сама по себе не сообщает, истинно ли утверждение, пока x не задан или не уточнена область его рассмотрения. Так предикат становится частью высказывания о множестве значений.

Квантор меняет смысл предиката, потому что задаёт требование к числу подходящих значений: ∀ требует истинности для каждого, а ∃ — хотя бы для одного. Область M нужна, чтобы было ясно, среди каких объектов проверяется требование. Утверждение может быть истинным на одном множестве и ложным на другом, поэтому пропуск области способен изменить смысл. Например, уравнение x² = 9 имеет решения в ℝ, но не верно для всех действительных чисел.

Символическую запись читают, начиная с квантора, затем называют область и предикат: ∀x∈M P(x) — «для каждого x из M верно P(x)». Чтобы перевести фразу в символы, сначала выделяют, о каком множестве говорится, затем определяют, требуется ли свойство для всех объектов или только для некоторых. Например, «существует натуральное число, квадрат которого равен 9» записывают как ∃n∈ℕ: n² = 9. При переводе в обратную сторону нужно сохранить и область, и смысл квантора.

Теорема состоит из условия и заключения, связанных отношением «если…, то…». Условие — то, что предполагается верным; заключение — следствие, которое требуется обосновать. Если обозначить их A и B, теорему записывают как A ⇒ B. Такое представление помогает строить доказательство: использовать предпосылки A и показать, что из них обязательно получается B, а не доказывать похожее, но другое утверждение.

Чтобы отрицать утверждение, нужно описать ровно те случаи, при которых исходная фраза неверна. Фраза «для каждого x верно P(x)» неверна, если найдётся хотя бы один x, для которого P(x) ложно; поэтому ∀ при отрицании меняется на ∃, а P — на ¬P. Фраза «существует x, для которого верно P(x)» отрицается условием, что ни для одного x свойство не выполняется. Поэтому ∃ заменяется на ∀, а предикат также отрицается.

Кванторы: чтение, смысл и отрицание

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите квантор и область M, затем прочитайте условие истинности. При отрицании меняются и квантор, и знак предиката. Запись с отрицанием описывает случаи, в которых исходное утверждение не выполняется.

Разбор задач

Для предиката P(x): «x² = 9» определить истинность высказываний ∀x∈ℝ P(x) и ∃x∈ℝ P(x).

1. В первом высказывании квантор ∀ требует, чтобы равенство выполнялось для каждого действительного x.
2. Проверим, можно ли найти контрпример: при x = 0 получаем 0² = 0, а 0 ≠ 9. Значит, требование для всех действительных чисел не выполнено.
3. Во втором высказывании квантор ∃ требует только одного подходящего числа. При x = 3 имеем 3² = 9, поэтому подходящее значение найдено.

Ответ: ∀x∈ℝ P(x) — ложное утверждение; ∃x∈ℝ P(x) — истинное.

Записать символически утверждение: «Каждое натуральное число имеет квадрат, являющийся натуральным числом», а затем сформулировать его отрицание.

1. Переменная n обозначает натуральное число, поэтому указываем область ℕ.
2. Слово «каждое» означает, что свойство должно выполняться для всех n. Квадрат натурального числа записывается n², а нужное свойство — n²∈ℕ.
3. Получаем запись ∀n∈ℕ: n²∈ℕ. При отрицании ∀ заменяется на ∃, а свойство n²∈ℕ отрицается.

Ответ: ∀n∈ℕ: n²∈ℕ. Отрицание: ∃n∈ℕ: n²∉ℕ, то есть найдётся натуральное число, квадрат которого не является натуральным.

Сформулировать теорему «Если целое число делится на 6, то оно делится на 3» в виде условия и заключения; определить, что требуется доказать и какое утверждение является контрпримером.

1. Обозначим целое число через n. Условие: n∈ℤ и n делится на 6. Заключение: n делится на 3.
2. Запись имеет вид: для любого n∈ℤ, если 6 делит n, то 3 делит n. Доказать нужно именно переход от условия к заключению для произвольного целого n.
3. Чтобы опровергнуть теорему, потребовалось бы найти целое n, которое делится на 6, но не делится на 3. Проверка одного числа, для которого оба свойства выполняются, доказывает только частный пример.

Ответ: условие — целое число делится на 6; заключение — оно делится на 3. Контрпример должен удовлетворять условию и нарушать заключение. Такого целого числа нет, поскольку делимость на 6 означает представление n = 6k, а тогда n = 3·2k делится на 3.

Типичные ошибки

Проверить несколько примеров и объявить утверждение с ∀ истинным. Так поступают, потому что отдельные случаи создают впечатление общего правила, но квантор требует проверить каждый элемент множества. Для опровержения достаточно найти контрпример; для доказательства общности нужно обоснование для произвольного элемента. Проверьте себя вопросом: рассмотрены ли все значения или доказано общее правило?

Перебирать все значения, когда стоит ∃. Это лишнее: существование подтверждает один подходящий пример, а не проверка всей области. Ошибка возникает, когда к обоим кванторам применяют одинаковый способ проверки. Найдите конкретное значение и подставьте его в предикат.

При отрицании оставить прежний квантор или не изменить предикат. Отрицание означает, что исходное требование не выполняется, поэтому меняются и квантор, и свойство: ∀ переходит в ∃, ∃ — в ∀, а P заменяется на ¬P. Ошибку помогает заметить чтение полученной фразы вслух и проверка: описывает ли она ровно противоположные случаи?

Поменять местами условие и заключение теоремы. Из A ⇒ B само по себе не следует B ⇒ A: обратное утверждение может оказаться ложным. Такая путаница возникает, если воспринимать условие и вывод как взаимозаменяемые части фразы. Для проверки ищите случай, где B верно, а A нет, и не считайте обратное доказанным без отдельного обоснования.

Связь с другими темами

Чтобы работать с кванторами, нужно различать высказывания и предикаты, подставлять значения переменных и определять истинность результата. Разбор теорем продолжает изучение логических операций: условие и заключение связываются импликацией, поэтому важно понимать её направление. В дальнейшем кванторы позволят точно формулировать определения и свойства чисел, функций и пределов. Они помогают понять, для каких объектов утверждение верно и что именно требуется доказать.

Что запомнить

• Предикат становится высказыванием после задания значений переменных или области их рассмотрения.
• Знак ∀ означает «для каждого», а знак ∃ — «найдётся хотя бы один».
• Область, в которой рассматривается переменная, влияет на смысл утверждения.
• Отрицание ∀x P(x) равносильно ∃x ¬P(x).
• Отрицание ∃x P(x) равносильно ∀x ¬P(x).
• В теореме условие — предпосылка, заключение — утверждение, которое из неё следует.
• Истинность теоремы нельзя установить проверкой конечного числа примеров, если утверждение относится ко всему множеству.