§ 40. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Определения и обозначения

Числовая последовательность — функция, заданная на натуральных числах. Её n-й член обозначают a_n, а всю последовательность записывают (a_n) или a₁, a₂, a₃, … . Такая запись связывает каждый натуральный номер с одним числом.

Предел последовательности — число a, к которому её члены становятся сколь угодно близкими при достаточно больших номерах. Предел обозначают lim a_n = a или a_n → a при n → ∞. Он описывает поведение последовательности «в конце», а не обязательно является её членом.

Сходящаяся последовательность — последовательность, имеющая конечный предел. Например, последовательность 1/n сходится к нулю. Если конечного предела нет, последовательность называют расходящейся.

ε-окрестность числа a — интервал (a − ε; a + ε), где ε > 0. Он задаёт допустимую точность приближения к a. С помощью таких интервалов определение предела превращается в точное математическое условие.

Как это устроено

Интуитивно последовательность сходится к числу a, если при движении по её членам вправо, то есть при увеличении n, точки всё теснее собираются около a. Они могут подходить к нему сверху или снизу и при этом никогда не совпасть с ним. Например, у a_n = 1 + 1/n все члены больше 1, но расстояние до 1 уменьшается.

Строго это записывают так: для любого ε > 0 существует номер N, такой что при всех n > N выполняется |a_n − a| < ε. Слова «для любого» означают, что точность можно выбрать сколь угодно высокой. Слова «существует N» требуют найти границу, после которой приближение гарантировано.

Номер N зависит от ε, потому что более узкая окрестность требует рассмотреть больше членов. Если нужно попасть в окрестность радиуса 0,1, один номер может подойти, а для радиуса 0,001 понадобится больший. После выбранного N условие обязано выполняться для каждого n > N, а не только для некоторых номеров.

Предел не может быть двумя разными числами. Если бы последовательность приближалась и к a, и к b, где a ≠ b, можно было бы взять две достаточно узкие окрестности, не пересекающиеся друг с другом. Один и тот же хвост последовательности должен был бы одновременно находиться в обеих, что невозможно. Из определения также следует ограниченность: конечное число первых членов можно охватить одним промежутком, а весь хвост — окрестностью предела. Для суммы, разности и произведения близость исходных последовательностей к пределам передаётся результату, поэтому предел вычисляется по соответствующему правилу. Для частного дополнительно нужен ненулевой предел знаменателя.

Если для всех достаточно больших n выполнено a_n ≤ b_n, то при существовании пределов a ≤ b. Так сохраняются нестрогие неравенства. Строгое неравенство у членов может превратиться в равенство пределов, например 1 − 1/n < 1, но обе последовательности имеют предел 1.

Свойства сходящихся последовательностей

Таблица помогает быстро выбрать нужное правило: сначала проверьте, существуют ли пределы исходных последовательностей, а для частного — не равен ли нулю предел знаменателя. Неравенства можно переносить на пределы только при выполнении условия для всех достаточно больших номеров.

Разбор задач

Задача 1. Найти предел последовательности a_n = 2 + 1/n. Здесь удобно разделить выражение на известную последовательность 1/n и постоянный член.

1. Известно, что 1/n → 0 при n → ∞.
2. Постоянная последовательность 2, 2, 2, … имеет предел 2.
3. По свойству суммы lim(2 + 1/n) = 2 + 0 = 2.

Ответ: lim a_n = 2.

Задача 2. Доказать по определению, что a_n = 1/n → 0. Нужно для произвольного ε > 0 обеспечить неравенство |1/n − 0| < ε.

1. Имеем |1/n| = 1/n, поэтому требуется 1/n < ε.
2. Это выполнено, если n > 1/ε. Можно выбрать натуральное N > 1/ε.
3. Тогда при любом n > N верно n > 1/ε, значит 1/n < ε.

Условие определения выполнено для любого ε > 0, поэтому a_n → 0.

Задача 3. Найти предел a_n = √(n² + 3n) − n. Прямое подставление не помогает, поэтому устраним разность корней сопряжённым выражением.

1. Домножим на √(n² + 3n) + n и разделим на него.
2. Получим a_n = 3n / (√(n² + 3n) + n) = 3 / (√(1 + 3/n) + 1).
3. Так как 3/n → 0, знаменатель стремится к √1 + 1 = 2.
4. Следовательно, предел равен 3/2.

Ответ: lim a_n = 3/2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что предел обязательно является одним из членов последовательности. Так думают, потому что предел воспринимается как «последнее значение». Проверьте себя: исследуйте расстояние |a_n − a|, а не ищите обязательное равенство a_n = a.

Ошибка: заменять условие a_n → a требованием a_n = a для всех больших n. Члены могут только приближаться к пределу, не совпадая с ним. Проверьте, становится ли модуль разности меньше любого ε > 0.

Ошибка: утверждать, что всякая ограниченная последовательность сходится. Ограниченность лишь удерживает члены в некотором промежутке, но они могут колебаться, как 1, −1, 1, −1, … . Для проверки ищите приближение к одному числу, а не только общий диапазон значений.

Ошибка: делить пределы без проверки знаменателя. Если предел знаменателя равен нулю, правило частного неприменимо, даже когда отдельные b_n не равны нулю. Перед вычислением отдельно найдите предел знаменателя и убедитесь, что он ненулевой.

Связь с другими темами

Для работы с пределами нужны модуль числа, преобразование неравенств, натуральные числа и обычные преобразования выражений. Без этих навыков трудно записать ε-условие и подобрать номер N.

Предел последовательности служит подготовкой к пределу функции. На его основе объясняют непрерывность: малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения значения функции.

Свойства последовательностей понадобятся при выводе формулы производной и изучении числовых рядов. В обоих случаях важно уметь преобразовывать выражения и переносить предел через арифметические операции.

Что запомнить

• Предел последовательности — число, к которому её члены приближаются при n → ∞.
• Запись a_n → a означает: для любого ε > 0 найдётся N, при котором |a_n − a| < ε при n > N.
• Предел сходящейся последовательности единственен.
• Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
• Предел суммы, разности и произведения находят поэлементно.
• Предел частного можно находить поэлементно, если предел знаменателя не равен нулю.
• Ограниченность последовательности сама по себе не гарантирует её сходимость.