"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Вещественные числа — это все числа, которые можно отметить на числовой прямой: рациональные и иррациональные. Они отличаются видом десятичной записи и способом представления, но оба множества расположены на прямой очень плотно: между любыми двумя различными вещественными числами найдутся и рациональное, и иррациональное. При этом рациональные числа можно занумеровать, а вещественные — нельзя. Эти свойства объясняют, почему у числовой прямой нет соседних точек и как устроены числовые промежутки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Его десятичная запись либо заканчивается, либо бесконечно повторяет один и тот же блок цифр. Это определение помогает распознать числа, которые можно точно записать отношением целых чисел: например, ¾ = 0,75 и ⅓ = 0,333….
Иррациональное число — вещественное число, которое нельзя представить отношением двух целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и непериодична, то есть цифры после запятой не заканчиваются и не образуют повторяющегося блока. Такое определение позволяет отличить, например, √2 от рациональных чисел.
Плотность множества — свойство, при котором между любыми двумя различными числами множества найдётся ещё одно число из этого множества. Слово «плотность» здесь не означает, что числа стоят рядом или заполняют промежуток без пропусков. Понятие нужно, чтобы описывать, насколько много чисел встречается внутри любого интервала.
Несчётное множество — множество, элементы которого невозможно перечислить в последовательности с номерами 1, 2, 3 и так далее. Множество вещественных чисел несчётно: никакой список, даже бесконечный, не охватит все его элементы. Это свойство показывает, что «бесконечно много» не всегда означает просто «можно продолжать список».
Каждое вещественное число относится либо к рациональным, либо к иррациональным, и эти две группы не пересекаются. Рациональные числа имеют конечную или периодическую десятичную запись, потому что при делении целых чисел остатки могут принимать лишь конечное число значений: остаток либо станет нулём, либо начнёт повторяться. Если запись бесконечна и непериодична, число иррационально. Поэтому вместе эти две группы дают все точки числовой прямой.
Между двумя различными вещественными числами a и b можно найти рациональное число. Пусть a < b; выберем натуральное n настолько большим, чтобы 1/n < b − a, а затем найдём целое m, для которого na < m < nb. Тогда a < m/n < b. Идея в том, что с ростом знаменателя шаг между соседними дробями вида m/n уменьшается, поэтому дробь можно поместить в любой промежуток.
Иррациональные числа также встречаются внутри любого промежутка. Сначала выберем рациональное q внутри (a, b), а затем возьмём положительное иррациональное число δ настолько малое, чтобы q + δ всё ещё было меньше b. Получившееся число иррационально: если бы q + δ было рациональным, то разность (q + δ) − q тоже была бы рациональной, хотя она равна иррациональному δ. Например, для δ можно взять √2/n при достаточно большом натуральном n.
На числовой прямой нет соседних вещественных чисел. Если между a и b нет других вещественных чисел, то там не может быть ни рационального, ни иррационального, но плотность обоих множеств гарантирует их наличие при a < b. Поэтому даже очень близкие числа не становятся соседними: между ними можно поместить другие числа, а затем искать новые числа в получившихся промежутках.
Плотность и счётность отвечают на разные вопросы. Плотность говорит о наличии элементов в каждом промежутке, а счётность — о возможности сопоставить элементам номера натурального ряда. Рациональные числа плотны, но счётны: дроби можно перечислять по мере роста числителя и знаменателя, пропуская повторения. Вещественные числа несчётны; например, диагональный аргумент показывает, что из любого предполагаемого списка бесконечных десятичных записей можно построить запись, отличающуюся от каждого элемента списка хотя бы одной цифрой.
| Признак | Рациональные числа | Иррациональные числа |
|---|---|---|
| Представление в виде дроби m/n | Можно представить, где m, n ∈ ℤ и n ≠ 0 | Нельзя представить отношением целых чисел |
| Вид десятичной записи | Конечная или бесконечная периодическая | Бесконечная непериодическая |
| Плотность на числовой прямой | Плотны | Плотны |
| Счётность множества | Счётны | Несчётны |
| Примеры | −2; ¾; 0,125; 0,333… | √2; π; √3 |
Пользуйся таблицей, чтобы сопоставить не только запись числа, но и свойства целых множеств. Строка о плотности показывает, что обе группы встречаются в каждом промежутке. Строка о счётности напоминает: одинаковая плотность не означает одинаковое количество элементов.
Задача 1. Найдите рациональное число между 2,1 и 2,2. Нужно выбрать конечную десятичную дробь, строго большую первой границы и строго меньшую второй. Добавим десятые доли сотых, чтобы получить подходящее число.
Ответ: 2,15. При необходимости можно взять и другие дроби, например 2,11 или 2,19: достаточно проверить, что они находятся строго между границами.
Задача 2. Докажите, что между 1 и 1,1 есть иррациональное число. Возьмём число вида √a и проверим, что его квадрат находится между квадратами границ. При положительных числах возведение в квадрат сохраняет порядок, поэтому это проверит и положение корня.
Ответ: √1,01. Проверка границ необходима: сам по себе вид √a ещё не гарантирует, что число попадёт в заданный промежуток. Здесь отдельно установлено и положение числа, и его иррациональность.
Задача 3. Объясните, почему рациональные числа нельзя перечислить в возрастающем порядке, начиная с наименьшего. У рациональных чисел нет наименьшего элемента, потому что для любого рационального числа можно найти рациональное число меньше. Кроме того, плотность мешает построить возрастающую последовательность, в которой рациональные числа шли бы одно за другим без пропусков.
Ответ: перечислить рациональные числа в возрастающем порядке, начиная с наименьшего, нельзя. При этом сами рациональные числа всё же можно занумеровать в другом порядке: счётность не требует, чтобы список был возрастающим.
Ошибка: считать, что между соседними на вид десятичными дробями нет других чисел. Например, между 2,1 и 2,2 есть 2,15; конечная запись границ не делает их соседними. Так ошибаются, принимая привычный шаг записи за минимальное расстояние. Проверка: допиши ноль в конце одной границы и подбери дробь с дополнительным десятичным разрядом.
Ошибка: путать плотность с несчётностью и заключать, что плотное множество обязательно нельзя перечислить. Рациональные числа — контрпример: они плотны, но счётны. Проверяй, о каком свойстве говорится: о наличии чисел в каждом интервале или о возможности занумеровать все элементы.
Ошибка: считать любое бесконечное множество несчётным. Бесконечность означает, что элементы не заканчиваются, а несчётность — что их нельзя сопоставить натуральным номерам; рациональные числа бесконечны, но счётны. Чтобы проверить вывод, спроси себя, доказана ли невозможность составить полную нумерацию, а не только бесконечность множества.
Ошибка: выбрать корень, не проверив его положение в промежутке. Например, √a может оказаться больше обеих границ или меньше обеих. После выбора числа сравни подкоренное выражение с квадратами границ, если границы неотрицательны; затем отдельно обоснуй иррациональность выбранного корня.
Для этой темы нужны понятия рациональных и иррациональных чисел, десятичной записи, числовой прямой и сравнения чисел. Плотность вещественных чисел пригодится при работе с интервалами, пределами и приближёнными вычислениями: всегда можно уточнить, какое число лежит между выбранными границами. Различие счётных и несчётных множеств понадобится дальше при изучении числовых множеств и математического анализа.
Как найти рациональное число между двумя данными числами?
Можно записать границы десятичными дробями с одинаковым количеством знаков и выбрать число между ними. Например, между 2,1 и 2,2 лежит 2,15. Если границы близки, подберите дробь с большим знаменателем.
Как доказать, что между двумя числами есть иррациональное?
Найдите иррациональное число, которое после прибавления к подходящему числу останется внутри заданного промежутка. Например, между 1 и 1,1 лежит √1,01: число 1,01 не является квадратом рационального числа, а 1² < 1,01 < 1,1².
Почему у вещественных чисел нет соседних элементов?
Если взять любые два различных вещественных числа, между ними можно найти рациональное число. В этом же промежутке найдётся и иррациональное число. Поэтому нельзя выбрать два числа так, чтобы между ними не было других.
Если рациональные числа плотны, почему они не заполняют всю числовую прямую?
Плотность означает, что в каждом промежутке есть рациональные числа, но не означает, что всякая точка прямой рациональна. Например, √2 — вещественное, но иррациональное число. Рациональные числа подходят сколь угодно близко к нему, однако не равны ему.
В чём разница между бесконечным и несчётным множеством?
Бесконечное множество содержит бесконечно много элементов, но их всё ещё может быть возможно занумеровать натуральными числами. Такое множество называют счётным, как множество рациональных чисел. Несчётное множество нельзя перечислить таким способом; пример — множество вещественных чисел.
§ 6. Особенности множества вещественных чисел
