"Астрономия (базовый уровень)", Воронцов-Вельяминов Б.А., Страут Е.К.
Сила тяготения удерживает спутники на орбитах и управляет движением планет. Если направить тело с нужной скоростью, притяжение не даст ему улететь по прямой, а искривит путь вокруг небесного тела. Скорость кругового движения зависит от массы и радиуса центрального тела, но не от массы спутника. При большей скорости траектория может стать вытянутой или тело сможет преодолеть притяжение и удалиться от планеты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, имеющих массу. Её величина растёт с массой каждого тела и уменьшается при увеличении расстояния между их центрами. Вектор силы направлен вдоль линии, соединяющей центры тел, к притягивающему телу. Это направление помогает понять, почему траектория спутника искривляется к планете.
Закон всемирного тяготения описывает силу притяжения двух тел: F = Gm₁m₂/r². Здесь m₁ и m₂ — массы тел, r — расстояние между их центрами, а G — гравитационная постоянная, равная примерно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Закон нужен для расчёта силы между планетой и спутником и показывает, что важны обе массы.
Первая космическая скорость — минимальная скорость, при которой тело может двигаться по круговой орбите около небесного тела. У его поверхности v₁ = √(GM/R), где M — масса небесного тела, R — его радиус. Эта формула связывает параметры планеты с нужной скоростью и не включает массу спутника.
Вторая космическая скорость — минимальная начальная скорость, позволяющая преодолеть притяжение небесного тела и удалиться на бесконечно большое расстояние. Для запуска с поверхности v₂ = √(2GM/R). Её используют, когда нужно оценить возможность ухода аппарата от планеты, а не только выхода на орбиту.
Спутник обладает начальной скоростью, направленной примерно поперёк линии к центру планеты. Если бы притяжения не было, он продолжал бы двигаться прямолинейно, но гравитационная сила постоянно меняет направление его скорости. Поэтому путь спутника искривляется, а при подходящих условиях он не пересекает поверхность планеты, а движется вокруг неё. Орбита получается не из отсутствия падения, а из непрерывного падения мимо планеты.
Для круговой орбиты ускорение спутника должно быть направлено к центру окружности и равно v²/r. По второму закону Ньютона его создаёт сила тяготения: GMm/r² = mv²/r, где m — масса спутника. Сокращая m и выражая скорость, получаем v = √(GM/r). Здесь r — расстояние от центра планеты до спутника, а не высота над поверхностью.
Масса центрального тела влияет на притяжение: чем она больше, тем сильнее сила при том же расстоянии, поэтому для кругового движения нужна большая скорость. Радиус орбиты тоже важен: на большем расстоянии притяжение слабее и требуемая скорость ниже. Масса спутника сокращается в уравнении, потому что более массивный спутник сильнее притягивается, но ему же требуется больше силы для такого же ускорения. Поэтому первая космическая скорость определяется массой и радиусом планеты, а не массой спутника.
Если изменить скорость запуска, изменится и форма траектории. При круговой скорости получается окружность; при скорости выше первой, но ниже второй — эллипс, по которому тело остаётся связанным с планетой. При скорости ниже круговой орбиты тело может двигаться по эллипсу, но его ближайшая к планете часть траектории способна пересечь поверхность. Поэтому результат зависит не только от величины скорости, но и от её направления и точки запуска.
Чтобы навсегда удалиться от планеты, телу нужно получить достаточно энергии для преодоления притяжения. Минимальная скорость такого ухода называется второй космической; без учёта сопротивления среды у поверхности v₂ = √(2GM/R). Сравнение с формулой первой скорости даёт v₂ = √2v₁, то есть вторая скорость больше. При точном значении тело уходит на бесконечно большое расстояние, а при большей скорости также покидает планету.
| Случай движения | Условие или скорость | Основная зависимость | Результат |
|---|---|---|---|
| Круговая орбита | v = √(GM/r) | Притяжение создаёт центростремительное ускорение | Тело движется по окружности |
| Первая космическая скорость | v₁ = √(GM/R) у поверхности | Минимальная скорость круговой орбиты | Спутник обращается вокруг тела |
| Скорость меньше первой космической | v < v₁ | Скорости недостаточно для круговой орбиты на этом радиусе | Тело может упасть на поверхность |
| Скорость между первой и второй космическими | v₁ < v < v₂ | Тело остаётся гравитационно связанным с планетой | Возможна эллиптическая орбита |
| Вторая космическая скорость | v₂ = √(2GM/R) | Скорости хватает для преодоления притяжения | Тело уходит от небесного тела |
Сначала найдите расстояние от центра небесного тела: для орбиты высотой h оно равно R + h. Затем выберите строку по условию задачи и сравните скорость с соответствующей космической скоростью. Таблица описывает идеализированный случай без сопротивления атмосферы; реальная траектория зависит также от направления запуска.
Условие. Два тела массами 5 кг и 10 кг находятся на расстоянии 2 м друг от друга. Найдём силу их притяжения. В задаче расстояние задано между телами, поэтому перед подстановкой нужно уточнить, что для закона тяготения оно должно быть расстоянием между центрами.
Ответ: сила притяжения равна примерно 8,34 · 10⁻¹⁰ Н. Она действует на оба тела, причём силы равны по величине и противоположны по направлению. Если тела имеют заметные размеры, расстояние в формуле отсчитывают от центра одного тела до центра другого.
Условие. Спутник обращается вокруг планеты массой 6 · 10²⁴ кг по орбите радиусом 7 · 10⁶ м от её центра. Определим его скорость, считая орбиту круговой. Важно, что в условии задано именно расстояние до центра планеты, поэтому радиус планеты дополнительно прибавлять не нужно.
Ответ: скорость спутника примерно 7,6 км/с. Полученное значение относится к круговой орбите указанного радиуса. Масса спутника не потребовалась, потому что при выводе формулы она сократилась.
Условие. Планета A имеет массу 6 · 10²⁴ кг и радиус 6 · 10⁶ м, а планета B — массу 4 · 10²⁴ кг и радиус 4 · 10⁶ м. Сравним первые космические скорости у их поверхностей. Вместо полного подсчёта удобно сравнить отношения массы планеты к её радиусу, поскольку в формуле стоит квадратный корень из этого отношения.
Ответ: первые космические скорости у обеих планет одинаковы в рамках заданных данных. Это не означает, что их массы и радиусы одинаковы: скорость зависит именно от их отношения. Если отношение M/R у одной планеты больше, то и первая космическая скорость там больше.
Подстановка высоты спутника вместо расстояния до центра планеты даёт неверную силу или скорость, потому что формулы используют расстояние между центрами. Ошибку легко допустить, если спутник описан словами «на высоте h». Перед вычислением проверьте, что использовано r = R + h; если дана высота, радиус планеты нужно прибавить.
Иногда силу тяготения считают зависящей от массы только одного тела. Так происходит, когда из записи формулы выпадает одна из масс, хотя закон содержит их произведение m₁m₂. Проверьте себя по формуле F = Gm₁m₂/r²: при увеличении любой из масс сила увеличивается пропорционально ей.
Первая космическая скорость не зависит от массы спутника, хотя сам спутник участвует в гравитационном взаимодействии. Путаница возникает из-за того, что в формуле силы есть масса спутника. При выводе скорости эта масса сокращается; значит, для проверки нужно упростить уравнение, а не подставлять массу спутника в конечную формулу.
Первую и вторую космические скорости иногда принимают за две скорости выхода на орбиту. Первая нужна для кругового движения, а вторая — для преодоления притяжения и ухода от планеты. Проверьте смысл результата: v₂ = √2v₁, поэтому вторая скорость больше и не описывает круговую орбиту.
Для разбора движения спутников нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и понятие центростремительного ускорения. Первый описывает притяжение, второй связывает силу с ускорением, а третье показывает, какое ускорение необходимо для движения по окружности. Вместе эти идеи позволяют вывести формулу орбитальной скорости, а не просто запомнить её.
Тема пригодится при изучении движения планет и спутников, космических полётов и законов Кеплера. Формулы тяготения помогают сравнивать орбиты и оценивать необходимые скорости аппаратов. Законы Кеплера описывают закономерности движения небесных тел, а сила тяготения помогает понять физическую причину этого движения.
Почему спутник не падает на планету, если на него действует сила тяготения?
Спутник всё время притягивается к планете, поэтому его скорость меняет направление, а траектория искривляется. При подходящей начальной скорости он движется вокруг планеты и как бы постоянно падает мимо её поверхности.
Почему первая космическая скорость зависит от радиуса и массы планеты?
Притяжение планеты задаёт центростремительное ускорение, необходимое для круговой орбиты. Чем больше масса планеты, тем сильнее притяжение; чем дальше от её центра находится спутник, тем меньше нужная орбитальная скорость. Поэтому v₁ = √(GM/R) у поверхности.
Зависит ли скорость спутника на орбите от его массы?
Нет, масса спутника сокращается при приравнивании силы тяготения к центростремительной силе. Для круговой орбиты скорость определяется массой центрального тела и расстоянием до его центра.
Чем первая космическая скорость отличается от второй?
Первая космическая скорость нужна, чтобы двигаться по круговой орбите около небесного тела. Вторая космическая позволяет преодолеть его притяжение и удалиться на бесконечно большое расстояние; она больше первой.
Что произойдёт с траекторией тела, если изменить его начальную скорость?
При круговой орбитальной скорости тело движется по окружности, а при большей, но меньшей второй космической — по эллипсу. При скорости, равной второй космической, тело уходит по параболической траектории, а при ещё большей — по гиперболической. Слишком малая скорость может привести к падению на планету.
§ 14. Движение небесных тел под действием сил тяготения
