"Астрономия (базовый уровень)", Воронцов-Вельяминов Б.А., Страут Е.К.
Любые тела во Вселенной притягиваются друг к другу. Закон всемирного тяготения показывает, как сила этого взаимодействия зависит от масс тел и расстояния между их центрами: чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела, тем оно слабее. Формула закона помогает объяснять падение предметов, движение планет и спутников, а также находить массы небесных тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон всемирного тяготения — зависимость силы притяжения между телами от их масс и расстояния между ними. Он нужен, чтобы количественно описывать гравитационное взаимодействие и сравнивать его при разных условиях. По этому закону можно рассматривать как падение предмета, так и движение планет.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения двух тел, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. Она действует на оба тела, а не только на одно из них. Понятие силы позволяет определить, как тела взаимодействуют и как меняется их движение.
Гравитационная постоянная — коэффициент G в формуле закона всемирного тяготения, равный примерно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт масштаб гравитационного взаимодействия в выбранной системе единиц. Её значение используют при расчётах силы и масс небесных тел.
Центр тяжести — точка, в которой условно сосредоточено действие силы тяжести тела в рассматриваемой задаче. Это удобная модель: вместо распределённого по всему телу действия силы можно рассматривать одну приложенную силу. Она помогает составлять схемы сил и решать задачи о равновесии или движении.
Ньютон пришёл к идее единой природы земного и небесного притяжения, сопоставив падение предметов с движением Луны вокруг Земли. Луна не падает на Землю прямо, потому что движется в сторону по орбите, но притяжение постоянно искривляет её путь. Ньютон предположил, что та же причина действует и на падающее тело, и на небесные объекты, а различие движения связано с расстоянием и скоростью.
Сила зависит от масс обоих тел: увеличение любой из них усиливает взаимодействие. Если масса одного тела увеличится в несколько раз, сила возрастёт во столько же раз; то же верно для массы второго тела. Поэтому сила прямо пропорциональна произведению m₁m₂, а не только массе одного участника взаимодействия.
Расстояние в законе отсчитывают между центрами тел. Притяжение ослабевает с удалением, причём не линейно: оно обратно пропорционально квадрату расстояния. Это означает, что увеличение r в два раза уменьшает силу в четыре раза, а увеличение в три раза — в девять раз. На графике видно, что при росте расстояния кривая быстро убывает.
Закон записывают так: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила в ньютонах (Н), m₁ и m₂ — массы в килограммах (кг), r — расстояние между центрами в метрах (м), а G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Подстановка величин в единицах СИ даёт силу в ньютонах. Малое значение G показывает, что притяжение обычных предметов крайне слабое.
Формулу применяют напрямую, когда размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними: такие тела считают материальными точками. Для однородных шаров вне их объёма результат такой же, как если бы вся масса каждого шара находилась в центре. Поэтому сила направлена к центрам шаров. Для тел сложной формы или неоднородной плотности может потребоваться учитывать, как масса распределена внутри.
| Изменяемая величина | Как изменяется сила F | Математическая зависимость | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Масса первого тела | Прямо пропорционально | F ∝ m₁ | Увеличение массы усиливает притяжение |
| Масса второго тела | Прямо пропорционально | F ∝ m₂ | Увеличение массы усиливает притяжение |
| Расстояние между центрами тел | Обратно пропорционально квадрату | F ∝ 1/r² | Удаление тел быстро ослабляет притяжение |
| Одновременное изменение масс | Изменяется как произведение их множителей | F′/F = k₁k₂ | Учитываются изменения обеих масс |
| Одновременное изменение расстояния и масс | Зависит от масс и квадрата расстояния | F′/F = k₁k₂/kᵣ² | Изменения могут усиливать или ослаблять силу |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какие величины изменились, и запишите для каждой соответствующий множитель. Затем перемножьте множители масс и разделите результат на квадрат множителя расстояния. Так можно найти, во сколько раз изменилась сила, даже если её исходное значение неизвестно.
Условие. Два тела массами 10 кг и 20 кг находятся на расстоянии 2 м. Найдите силу их взаимного тяготения, используя значение G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Все данные уже выражены в единицах СИ.
Ответ: 3,335·10⁻⁹ Н, или примерно 3,34·10⁻⁹ Н. Получилось очень малое значение, потому что массы обычных тел невелики, а гравитационная постоянная мала. Округлять результат можно до двух значащих цифр.
Условие. Массу первого тела увеличили в 3 раза, массу второго уменьшили в 2 раза, а расстояние увеличили в 2 раза. Нужно определить, во сколько раз изменилась сила притяжения. Обозначим исходную силу через F.
Ответ: сила станет равна 3/8 исходной, то есть уменьшится в 8/3 раза (примерно в 2,67 раза). Сначала притяжение усиливает первая масса, затем ослабляет вторая и в четыре раза — увеличение расстояния. Проверка: итоговый множитель меньше единицы, поэтому сила действительно уменьшилась.
Условие. Радиус Земли R ≈ 6,37·10⁶ м, ускорение свободного падения у поверхности g ≈ 9,81 м/с², G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Требуется оценить массу Земли. На тело массой m у поверхности действует сила тяжести mg.
Ответ: масса Земли примерно равна 5,97·10²⁴ кг. Результат является оценкой, потому что радиус и g округлены. При вычислении особенно важно возвести радиус в квадрат и не потерять степень десяти.
Первая ошибка — брать расстояние между ближайшими поверхностями тел вместо расстояния между центрами. Так поступают, когда забывают, что именно r входит в закон; проверьте схему и прибавьте радиусы тел, если даны зазор и размеры шаров. Вторая ошибка — забыть квадрат расстояния и считать, что F ∝ 1/r. Причина обычно в невнимательном чтении формулы; проверьте, что при увеличении r в два раза сила делится на четыре.
Третья ошибка — подставлять вместо массы силу тяжести mg. Масса измеряется в килограммах, а сила — в ньютонах, поэтому перед подстановкой сверьте единицы величин с формулой. Четвёртая ошибка — считать, что более массивное тело действует на другое с большей силой. Это смешивает величину массы с силой взаимодействия: по третьему закону Ньютона силы равны, а проверить себя можно, нарисовав пару противоположно направленных сил.
Для изучения закона нужны понятия массы, силы и ускорения, второй и третий законы Ньютона, а также умение работать с пропорциями и переводить единицы в СИ. Закон объясняет силу тяжести у поверхности Земли и используется при описании движения планет, орбит и спутников. По наблюдаемому движению можно рассчитывать массы небесных тел, а гравитационное взаимодействие участвует и в возникновении приливов. Далее эти знания понадобятся при изучении первой космической скорости, искусственных спутников и законов Кеплера.
Почему тела притягиваются, хотя между ними нет непосредственного контакта?
Гравитация — это взаимодействие, которое не требует соприкосновения тел. Каждое тело с массой притягивает другие тела, а силу этого притяжения описывает закон всемирного тяготения. В школьных задачах её действие учитывают непосредственно по формуле.
Почему в формуле расстояние возводится именно в квадрат?
Обратная зависимость от квадрата расстояния установлена для гравитационного взаимодействия и согласуется с наблюдениями за движением небесных тел. Поэтому при увеличении расстояния в два раза сила становится в четыре раза меньше, а не в два.
Какое расстояние нужно брать между двумя реальными телами?
Для тел, которые можно считать материальными точками, берут расстояние между ними. Для сферических тел вне их объёма используют расстояние между центрами. Измерять промежуток между ближайшими поверхностями можно лишь тогда, когда из условия задачи он совпадает с расстоянием между центрами.
Почему сила, с которой Земля притягивает тело, равна силе, с которой тело притягивает Землю?
Это следует из третьего закона Ньютона: силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Различие в их массах не меняет равенства сил. При этом ускорения тел могут быть разными, потому что зависят от массы.
Можно ли применять закон всемирного тяготения к телам любой формы и размера?
Для материальных точек закон применим напрямую, а для однородных шаров вне их объёма — так, будто масса каждого сосредоточена в центре. Сложные по форме и неоднородные тела тоже притягиваются, но расчёт их силы может требовать учёта распределения массы. Поэтому в задачах сначала выбирают подходящую модель тела.
З Закон всемирного тяготения
