Масса и плотность Земли

Определения и обозначения

Масса Земли M⊕ — величина, характеризующая гравитационное действие нашей планеты; её единица СИ — килограмм, а значение составляет около 6·10²⁴ кг. Это число нужно не только для описания Земли: с его помощью рассчитывают притяжение планеты и движение спутников. Обычное взвешивание здесь невозможно, поэтому массу определяют косвенно.

Средняя плотность Земли ρ⊕ — отношение массы планеты к объёму земного шара. Она показывает, сколько массы в среднем приходится на единицу объёма, и вычисляется по формуле ρ⊕ = M⊕/(4πR⊕³/3). Такая величина описывает всю планету целиком, а не только вещество у поверхности.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, который связывает массы тел и расстояние между ними с силой притяжения. Её значение в СИ приблизительно равно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Без знания G можно измерить действие земного притяжения, но нельзя вычислить массу планеты из этого действия.

Крутильные весы — прибор, в котором слабое притяжение тел вызывает поворот подвешенного стержня с грузами. Кавендиш применил такой способ, чтобы экспериментально определить G. Полученная постоянная позволила перейти от измерений притяжения к расчёту массы Земли.

Как это устроено

Землю нельзя поставить на весы и сравнить с гирями: она сама является огромным небесным телом, а подходящей опоры для такого взвешивания нет. Однако планета притягивает тела у поверхности, и это притяжение можно измерить как ускорение свободного падения g. Если известны радиус Земли и гравитационная постоянная, измеренное ускорение позволяет найти массу. Поэтому массу определяют не напрямую, а по проявлению земного тяготения.

Чтобы получить формулу, рассмотрим тело массой m у поверхности Земли. С одной стороны, сила тяжести равна mg, а с другой — по закону всемирного тяготения GM⊕m/R⊕². Приравниваем выражения: mg = GM⊕m/R⊕²; масса тела m сокращается, поскольку она входит в обе части. После преобразования получаем g = GM⊕/R⊕², а значит, M⊕ = gR⊕²/G.

Для расчёта массы нужно знать G, но земное притяжение само по себе не даёт её численного значения отдельно от этой постоянной. В опыте Кавендиша небольшие известные грузы притягивали друг друга и слегка поворачивали крутильные весы. По величине поворота оценивали слабую силу, а затем находили значение G из закона тяготения. Так лабораторный опыт сделал возможным расчёт массы Земли по её воздействию на предметы у поверхности.

Когда масса известна, среднюю плотность находят делением массы Земли на её объём. Землю в таком расчёте считают шаром радиуса R⊕, поэтому её объём равен V⊕ = 4πR⊕³/3. Подстановка объёма в формулу плотности даёт ρ⊕ = M⊕/(4πR⊕³/3). Получается среднее значение для всего земного шара, а не плотность одного отдельного слоя.

Средняя плотность Земли существенно превосходит плотность многих пород на поверхности, потому что внутри планеты вещество распределено неодинаково. В глубине давление и состав вещества отличаются от условий земной коры, а ядро состоит из значительно более плотного материала. В расчёте средней плотности учитываются и кора, и мантия, и ядро вместе. Поэтому поверхностная порода не может служить заменой средней плотности всей планеты.

Масса и средняя плотность Земли

В таблице собраны величины, нужные для перехода от измерений у поверхности к массе и средней плотности планеты. Для вычислений сначала подставляйте радиус в метрах, затем находите массу и объём, а после этого — плотность. Приближённые значения округлены, поэтому итоговые ответы тоже следует считать приближёнными.

Разбор задач

Задача 1. Используя g = 9,8 м/с², R⊕ = 6,4·10⁶ м и G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг², вычислим массу Земли. Данные уже заданы в единицах СИ, поэтому переводить их не нужно. Квадрат радиуса равен (6,4·10⁶)² = 4,096·10¹³ м².

1. Записываем связь массы с измеряемыми величинами: M⊕ = gR⊕²/G.
2. Подставляем числа: M⊕ = 9,8·4,096·10¹³/(6,67·10⁻¹¹).
3. Числитель равен примерно 4,01·10¹⁴; деление даёт около 6,0·10²⁴ кг. Единицы сокращаются до килограммов, что соответствует массе.

Ответ: M⊕ ≈ 6,0·10²⁴ кг. Задача 2. По этой массе и радиусу найдём среднюю плотность, а затем сравним её с плотностью воды, приблизительно равной 1,0·10³ кг/м³.

1. Находим объём шара: V⊕ = 4πR⊕³/3 ≈ 4,19·(6,4·10⁶)³ м³ ≈ 1,10·10²¹ м³.
2. Делим массу на объём: ρ⊕ = 6,0·10²⁴/(1,10·10²¹) ≈ 5,5·10³ кг/м³.
3. Сравниваем с водой: 5,5·10³/(1,0·10³) ≈ 5,5, значит, средняя плотность Земли примерно в 5,5 раза больше.

Ответ: V⊕ ≈ 1,1·10²¹ м³, ρ⊕ ≈ 5,5·10³ кг/м³. Задача 3. Определим массу и среднюю плотность по измеренным g и R, а затем объясним, почему плотность не совпадает с плотностью коры.

1. Сначала используем измеренные значения g = 9,8 м/с² и R⊕ = 6,4·10⁶ м в формуле M⊕ = gR⊕²/G. Получаем M⊕ ≈ 6,0·10²⁴ кг.
2. Рассчитываем объём Земли по радиусу: V⊕ = 4πR⊕³/3 ≈ 1,1·10²¹ м³.
3. Находим среднюю плотность: ρ⊕ = M⊕/V⊕ ≈ 5,5·10³ кг/м³. Это значение усредняет вещество всей планеты, включая плотные внутренние слои и ядро, поэтому оно не равно плотности коры.

Ответ: масса Земли около 6,0·10²⁴ кг, средняя плотность около 5,5·10³ кг/м³; плотное ядро повышает среднее значение.

Типичные ошибки

Подмена средней плотности Земли плотностью поверхностных горных пород приводит к неверному результату. Обычно так происходит потому, что ученик принимает доступные наблюдению породы за образец всей планеты. Проверка простая: в формуле ρ⊕ = M⊕/V⊕ должны участвовать масса и объём Земли целиком, а не отдельного слоя.

Если забыть квадрат радиуса в формуле M⊕ = gR⊕²/G, размерность и численный результат окажутся неверными. Ошибку легко допустить при переносе формулы или при вычислении степени. Проверьте вывод из закона тяготения: расстояние до центра входит в знаменатель как R⊕², поэтому после преобразования радиус остаётся в квадрате.

Подстановка диаметра вместо радиуса завышает результат: диаметр вдвое больше радиуса, а при возведении в квадрат это меняет соответствующий множитель в четыре раза. Путаница возникает, когда значение размера Земли берут без обозначения или не проверяют, что именно указано. Перед вычислением запишите отдельно R⊕ = 6,4·10⁶ м и используйте именно его.

Ошибки с единицами G, радиуса и массы могут сделать даже верную формулу бесполезной. Например, километры нельзя напрямую подставлять вместо метров, если G записана в единицах СИ. Перед расчётом переведите радиус в метры, проверьте единицу G и убедитесь, что итог для массы выражен в килограммах.

Связь с другими темами

Для расчёта массы Земли нужны закон всемирного тяготения, формула ускорения свободного падения и формула объёма шара. Те же связи применяются при изучении движения искусственных спутников: гравитационное поле Земли определяет их орбиты. Средняя плотность помогает сопоставлять Землю с другими планетами и делать выводы об их внутреннем строении. Поэтому две найденные характеристики связывают наблюдаемые явления у поверхности с устройством планет в целом.

Что запомнить

• Массу Земли определяют не взвешиванием, а по её гравитационному действию.
• У поверхности Земли g = GM⊕/R⊕².
• Масса Земли вычисляется по формуле M⊕ = gR⊕²/G.
• Средняя плотность равна отношению массы к объёму.
• Объём Земли вычисляют как объём шара: V⊕ = 4πR⊕³/3.
• Средняя плотность Земли примерно равна 5,5·10³ кг/м³.
• Высокая средняя плотность Земли объясняется плотными внутренними слоями и ядром.