"Астрономия (базовый уровень)", Воронцов-Вельяминов Б.А., Страут Е.К.
Массу планеты, звезды или другого небесного тела можно определить по тому, как оно притягивает соседние объекты. Для этого наблюдают орбиты спутников, планет или компонентов двойной звёздной системы и измеряют периоды их обращения. Связь между размером орбиты, периодом движения и массой следует из закона всемирного тяготения и законов Ньютона. Для двойной системы сначала находят сумму масс, а затем, изучив движение относительно общего центра масс, определяют массу каждого компонента.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масса небесного тела — физическая величина, характеризующая его гравитационное взаимодействие с другими телами; её обозначают M и измеряют в килограммах (кг). Чем больше масса, тем сильнее тело притягивает окружающие объекты. Поэтому массу далёкой планеты или звезды определяют по тому, как она влияет на движение соседей.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, равный приблизительно 6,67 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она одинакова для любых тел и задаёт силу гравитационного взаимодействия при известных массах и расстоянии. Значение G нужно подставлять в формулы вместе с величинами, выраженными в единицах СИ.
Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то есть F = GMm/r². Здесь F — сила, M и m — массы, r — расстояние между центрами тел. Этот закон связывает наблюдаемое движение с массой, которую требуется найти.
Обобщённый третий закон Кеплера связывает период обращения тела, размер его орбиты и массы взаимодействующих тел. Для двойной системы он позволяет вычислить сумму масс по периоду и большой полуоси относительной орбиты. В отличие от обычной записи третьего закона, здесь учитываются массы обоих компонентов.
Для круговой орбиты спутник движется с центростремительным ускорением, а необходимую для него силу обеспечивает притяжение планеты. По второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы спутника на ускорение, а по закону тяготения — GMm/r². Приравниваем выражения: массу спутника m можно сократить, а скорость выразить через длину окружности и период, v = 2πr/T. После подстановки и преобразования получаем M = 4π²r³/(GT²).
Найти массу только по самому небесному телу нельзя: нужно наблюдать, как оно действует на другой объект. Это может быть естественный или искусственный спутник, планета на орбите звезды либо второй компонент двойной системы. Измеряя период и размер орбиты, астрономы выясняют, какое гравитационное воздействие необходимо для наблюдаемого движения. Значит, масса получается из динамики системы, а не из видимого размера тела.
В двойной системе оба компонента обращаются вокруг общего центра масс, поэтому движение нельзя приписать только одному из них. Для относительной орбиты используют большую полуось a — характерный размер орбиты одного компонента относительно другого — и период T. Обобщённый третий закон Кеплера даёт M₁ + M₂ = 4π²a³/(GT²). Поскольку в движении участвуют обе звезды, результатом сначала становится сумма их масс.
Чтобы разделить эту сумму, рассматривают, как далеко каждый компонент находится от общего центра масс. Центр масс — точка, относительно которой массы системы уравновешивают друг друга; для двух тел выполняется M₁r₁ = M₂r₂. Компонент с большей массой располагается ближе к этой точке, а более лёгкий проходит вокруг неё больший путь. Найдя отношение масс из расстояний r₁ и r₂, можно распределить между звёздами уже известную сумму.
Орбиту удаётся измерить не всегда: объект может быть слишком далёким или слабым, а подходящего спутника может не быть. Тогда массу оценивают по возмущениям — небольшим отклонениям других тел от ожидаемых орбит. Эти отклонения возникают из-за дополнительного гравитационного притяжения. Чем точнее и продолжительнее наблюдения, тем надёжнее можно выделить влияние исследуемого тела и определить его массу.
| Способ | Какие данные нужны | Что находят | Основная зависимость |
|---|---|---|---|
| По орбите спутника вокруг тела | Радиус орбиты r и период обращения T | Массу центрального тела M | M = 4π²r³/(GT²) |
| По орбите в двойной системе | Большая полуось относительной орбиты a и период T | Сумму масс компонентов | M₁ + M₂ = 4π²a³/(GT²) |
| По движению компонентов вокруг общего центра масс | Расстояния компонентов до центра масс и их взаимная орбита | Отношение масс и массы компонентов | M₁r₁ = M₂r₂ |
Сначала определите, какую систему описывает задача: спутник вокруг планеты или два компонента двойной системы. Затем сопоставьте известные величины с нужной строкой и проверьте, что именно даёт формула — массу одного тела, сумму или отношение масс. В последнем случае для отдельных масс потребуется дополнительное уравнение.
Задача 1. Искусственный спутник обращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом r = 7,0 × 10⁶ м за период T = 5,8 × 10³ с. Найдём массу планеты, приняв G = 6,67 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Радиус орбиты уже задан от центра планеты, поэтому дополнительно радиус планеты прибавлять не нужно.
Ответ: масса планеты приблизительно равна 4,8 × 10²⁴ кг. Величины в числителе и знаменателе должны соответствовать одной системе единиц, иначе полученная масса будет неверной.
Задача 2. Два компонента двойной звезды обращаются друг вокруг друга с периодом T = 10 лет, а большая полуось относительной орбиты равна a = 5 а.е. Требуется найти сумму масс. Здесь a описывает орбиту одного компонента относительно другого, а не путь отдельной звезды вокруг центра масс.
Ответ: сумма масс компонентов равна 1,25 массы Солнца. Нельзя подставлять в формулу расстояние одной звезды от центра масс вместо большой полуоси относительной орбиты.
Задача 3. У двойной системы период T = 8 лет, большая полуось относительной орбиты a = 4 а.е.; расстояния компонентов от общего центра масс относятся как r₁ = 1 а.е. и r₂ = 3 а.е. Найдём массы компонентов в массах Солнца. Сначала используем период и относительную орбиту, а затем — положение центра масс.
Ответ: M₁ = 0,75, M₂ = 0,25 массы Солнца, если компоненту 1 соответствует расстояние 1 а.е. Проверка: массы в сумме дают одну массу Солнца, а более массивный компонент расположен ближе к центру масс.
Для вывода формул нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона, а также понятия периода и радиуса орбиты. Обобщённый третий закон Кеплера связывает эти идеи с движением планет и двойных звёзд. Те же зависимости применяют при изучении планетных систем и искусственных спутников. Так наблюдения за орбитами позволяют получить физическую характеристику тела — его массу.
Можно ли определить массу планеты, если у неё нет естественных спутников?
Да. Массу можно оценить по движению искусственного аппарата, если он обращается вокруг планеты и для него известны параметры орбиты. Также используют возмущения в движении других тел, вызванные притяжением планеты.
Почему для определения массы тела нужны наблюдения за движением другого тела?
Массу находят по силе гравитационного притяжения, а её непосредственно измерить на расстоянии нельзя. О влиянии массы судят по тому, как она меняет движение соседнего тела: например, по периоду и размеру его орбиты.
Какое расстояние считать радиусом орбиты спутника?
Для круговой орбиты r — это расстояние от центра планеты до спутника. Высоту спутника над поверхностью нужно сложить с радиусом планеты.
Почему по орбите двойной звезды сначала находят сумму масс?
Оба компонента притягиваются друг к другу и обращаются вокруг общего центра масс. Их относительная орбита зависит от совместного гравитационного воздействия, поэтому период и большая полуось дают сумму масс. Чтобы разделить её на отдельные массы, нужны дополнительные сведения о движении компонентов вокруг центра масс.
Можно ли определить массу звезды по движению планет вокруг неё?
Да. Если известны период обращения планеты и большая полуось её орбиты, по обобщённому третьему закону Кеплера можно найти сумму массы звезды и планеты. Когда масса планеты намного меньше массы звезды, полученная сумма практически равна массе звезды.
Определение массы небесных тел
