"Астрономия", Галузо И.В., Голубев В.А., Шимбалев А.А.
Закон всемирного тяготения объясняет, почему притягиваются любые тела — от камней на Земле до планет и спутников. Сила зависит от масс тел и расстояния между их центрами: чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела, тем оно слабее. Закон записывают формулой F = Gm₁m₂/r². Он помогает описывать движение небесных тел и рассчитывать орбиты спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых двух тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Это означает, что каждое тело действует на другое, а не притягивает его «в сторону» произвольной точки. Направление силы нужно учитывать при разборе движения и взаимодействия тел.
Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Поэтому увеличение массы усиливает притяжение, а увеличение расстояния ослабляет его. Закон позволяет количественно сравнивать гравитационное взаимодействие.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона, одинаковый для всех тел; G = 6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её единицы согласуют килограммы, метры и ньютоны в расчётах. Малое численное значение объясняет, почему притяжение обычных предметов незаметно.
Расстояние r в законе — расстояние между центрами масс тел, то есть точками, в которых условно сосредоточена их масса при расчёте. Для однородных шаров центры масс совпадают с геометрическими центрами, поэтому берут расстояние между центрами шаров. Это уточнение помогает не подставить вместо r расстояние между поверхностями.
Ньютон сопоставил наблюдения за движением планет с привычным падением тел на Земле. Планеты меняют направление движения и не улетают по прямой, значит, на них действует притяжение; на Земле похожее действие видно по падению предметов. Ньютон предположил, что это проявления одного закона: Земля притягивает тела, а планеты притягивают друг друга. Единое объяснение позволило описывать земные и небесные явления общей формулой.
В законе участвует произведение масс m₁m₂, поэтому при неизменной массе второго тела сила меняется пропорционально первой массе. Если одну массу увеличить, например, в четыре раза, произведение масс и сила тоже увеличатся в четыре раза. Если увеличить обе массы, нужно учитывать изменение каждой из них. Такая зависимость показывает, почему массивные планеты способны заметно влиять на движение спутников.
Расстояние входит в знаменатель и возводится в квадрат: F ∝ 1/r². Если расстояние увеличить в три раза, знаменатель станет в девять раз больше, а сила — в девять раз меньше. Квадратичная зависимость объясняет, почему гравитационное влияние быстро ослабевает при удалении. При этом притяжение не исчезает полностью: оно становится слабее, но остаётся.
Формула закона имеет вид F = Gm₁m₂/r². Здесь F измеряется в ньютонах, массы m₁ и m₂ — в килограммах, r — в метрах, а G = 6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Сила направлена к другому телу вдоль линии центров; взаимодействие взаимно, поэтому на каждое тело действует своя сила. Для вычислений массы и расстояние необходимо привести к единицам СИ.
Закон применим напрямую к точечным телам, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, и к сферически симметричным телам. В последнем случае их притяжение снаружи можно рассчитывать так, как если бы масса каждого тела была сосредоточена в его центре. Поэтому для планеты и спутника используют расстояние между их центрами. Для тел неправильной формы простое применение этой формулы может быть недостаточным: приходится учитывать распределение массы.
| Величина или условие | Обозначение и единица | Роль в законе |
|---|---|---|
| Сила тяготения | F, Н | Результат взаимодействия тел |
| Массы тел | m₁ и m₂, кг | Чем больше их произведение, тем больше F |
| Расстояние между центрами тел | r, м | Увеличение r ослабляет силу пропорционально r² |
| Гравитационная постоянная | G, Н·м²/кг² | Одинаковый коэффициент закона |
| Как изменится сила при изменении одной величины | Масса или расстояние | При увеличении массы в n раз F возрастает в n раз; при увеличении расстояния в n раз F уменьшается в n² раз |
Сначала определите, какая величина меняется, и оставьте остальные постоянными. Затем примените соответствующую пропорциональность: для массы — линейную, для расстояния — обратную квадратичную. Если меняется сразу несколько величин, учтите каждый множитель отдельно.
Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м. Найдём силу притяжения. Массы и расстояние уже заданы в единицах СИ, поэтому их можно подставить в формулу непосредственно.
Ответ: приблизительно 4,0 × 10⁻¹⁰ Н.
Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза, а одну из масс уменьшили в 2 раза. Требуется сравнить новую силу с первоначальной. Отдельно учтём влияние массы и расстояния, не забывая, что расстояние в законе стоит в квадрате.
Ответ: сила уменьшилась в 18 раз.
Задача 3. Найдём массу планеты, если известны масса спутника m, радиус его круговой орбиты r и период обращения T. Спутник движется по окружности, поэтому сила тяготения обеспечивает ему центростремительное ускорение. Масса спутника сократится, так что знать её численное значение для результата не потребуется.
Ответ: масса планеты равна 4π²r³/(GT²).
Подстановка радиуса планеты или высоты над поверхностью вместо расстояния между центрами даёт неверный результат. Ошибку допускают, когда считают расстояние от спутника до поверхности нужным r. Для спутника на высоте h над планетой проверьте: r равен радиусу планеты плюс h.
Если не возвести расстояние в квадрат, получится зависимость, обратно пропорциональная r, а не r². Так ошибаются, запоминая только слова «чем дальше, тем слабее притяжение». Проверьте расчёт контрольным примером: увеличение расстояния втрое должно уменьшать силу в девять раз.
Иногда считают, что силу испытывает только одно тело. Это противоречит третьему закону Ньютона: второе тело тоже притягивается, причём силы равны по модулю и противоположны по направлению. Проверяя ответ, укажите обе силы и тела, на которые они действуют.
Подстановка, например, массы в граммах и расстояния в километрах без перевода в СИ искажает вычисление. Причина часто в том, что единицы кажутся взаимозаменяемыми, но формула с заданным значением G согласована с килограммами и метрами. Перед расчётом переведите величины в кг и м, а затем проверьте, что сила получилась в ньютонах.
Для понимания закона нужны понятия силы и массы, а также второй и третий законы Ньютона. Второй закон связывает силу с ускорением, а третий помогает понять, почему тела притягиваются с равными по модулю силами. При решении задач о спутниках понадобится равномерное движение по окружности и центростремительное ускорение.
Закон применяют, чтобы объяснять движение планет и спутников и рассчитывать их орбиты. Он также помогает связать притяжение планеты с ускорением свободного падения у её поверхности. Так наблюдаемые движения становятся основой для расчётов, а не только описанием происходящего.
Почему тела притягиваются, даже если их массы малы?
По закону всемирного тяготения притяжение есть у любых тел с массой. У небольших тел сила настолько мала, что обычные предметы не заметно притягиваются друг к другу: её перекрывают трение и другие воздействия.
Почему в формуле расстояние возводится в квадрат?
Это установленная Ньютоном зависимость, подтверждённая наблюдениями за движением небесных тел. Поэтому при увеличении расстояния в n раз сила становится меньше в n² раз, а не просто в n раз.
Какое расстояние нужно подставлять для планеты и спутника?
Нужно брать расстояние между центрами масс планеты и спутника. Если спутник движется по круговой орбите, обычно используют радиус орбиты от центра планеты, а не высоту над её поверхностью.
Действуют ли силы тяготения на оба тела?
Да, тела притягиваются друг к другу одновременно. По третьему закону Ньютона силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
Можно ли применять закон к телам неправильной формы?
К точечным телам и сферически симметричным телам закон применяют напрямую, используя расстояние между центрами. Для тел неправильной формы простая формула может быть неприменима: нужно учитывать распределение массы, например разделив тело на части и суммировав их притяжение.
§ 9. Закон всемирного тяготения Ньютона
