§ 8. Законы Кеплера

Определения и обозначения

Эллипс — замкнутая кривая, форма которой определяется большой и малой полуосями; у эллипса есть два фокуса. Большая полуось — половина его наибольшего диаметра, а фокусы расположены внутри кривой на одной линии с центром. Это понятие нужно, чтобы описывать форму орбит и указывать положение Солнца на них.

Первый закон Кеплера утверждает, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, а Солнце находится в одном из фокусов. Центр эллипса и его фокус — разные точки, кроме предельного случая окружности. Закон нужен, чтобы верно представить геометрию планетного движения.

Второй закон Кеплера говорит, что радиус-вектор планеты за равные промежутки времени заметает равные площади. Радиус-вектором называют отрезок, соединяющий планету с Солнцем. Закон нужен для сравнения движения на разных участках орбиты: он показывает, что скорость не постоянна.

Третий закон Кеплера связывает периоды обращения планет с большими полуосями их орбит: квадраты периодов относятся как кубы полуосей. Для двух тел вокруг одного центра это записывают так: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³. Формула помогает сравнить периоды, даже если они не заданы напрямую, а известны размеры орбит.

Как это устроено

Кеплер установил форму планетных орбит, анализируя точные наблюдения за их положением на небе. Наблюдаемые движения не удавалось согласовать с идеей, что каждая планета обязательно обращается по окружности. Эллипс лучше описывал измеренные положения, а Солнце оказывалось не в его центре, а в одном из фокусов. Второй фокус при этом не обязан содержать какое-либо небесное тело.

Чтобы понять второй закон, представьте отрезок, который всё время соединяет планету с Солнцем. За короткий промежуток движения этот отрезок и участок орбиты ограничивают некоторую площадь. Закон равных площадей означает, что за одинаковое время получаются равные площади, хотя длины пройденных участков могут различаться. Вблизи Солнца радиус-вектор короче, поэтому планета должна пройти больший участок орбиты, чтобы заметённая площадь не уменьшилась.

Из этого следует изменение скорости: ближе к Солнцу планета движется быстрее, дальше от него — медленнее. Иначе за одинаковые промежутки времени она заметала бы разные площади, что противоречило бы второму закону. Поэтому неверно описывать движение по эллипсу как равномерное. На круговой орбите расстояние до центра не меняется, но у эллиптической орбиты оно обычно меняется.

Третий закон сравнивает орбиты через две величины: период обращения T и большую полуось a. Для двух планет вокруг одного и того же центрального тела выполняется T₁²/T₂² = a₁³/a₂³; значит, T₁/T₂ = (a₁/a₂)³ᐟ². Чем больше орбита, тем больше период, причём он растёт не прямо пропорционально большой полуоси. Если отношение полуосей равно четырём, периоды относятся как 4³ᐟ² = 8 к 1.

Если рассматривать тела, которые обращаются вокруг одного центрального тела, отношение T²/a³ для них одинаково. Для тел вокруг разных центральных тел это отношение уже не обязано совпадать: его значение зависит от массы центрального тела. Так можно сравнивать орбиты спутников одной планеты, но нельзя без поправки переносить результат на спутники другого тела. Законы Кеплера описывают, как движутся небесные тела, а закон всемирного тяготения Ньютона объясняет, почему их траектории и скорости складываются именно так.

Три закона Кеплера

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, что требуется найти: форму орбиты, скорость на разных участках или соотношение периода и размера орбиты. Затем выберите соответствующий закон, а в задаче на третий закон проверьте, вокруг одного ли центрального тела обращаются объекты. Не смешивайте утверждения: постоянство площади за время не означает постоянства скорости.

Разбор задач

Задача 1. Планета обращается вокруг Солнца по эллиптической орбите. Укажите, где находится Солнце относительно эллипса. Чтобы ответить, нужно применить первый закон и не путать центр эллипса с его фокусом.

1. Из условия известно, что орбита имеет форму эллипса. Значит, используем первый закон Кеплера, а не модель окружности.
2. У эллипса есть два фокуса, расположенные по разные стороны от центра. Закон указывает, что Солнце находится в одном из этих фокусов.
3. Следовательно, Солнце не помещают в центр эллипса. Второй фокус при этом может оставаться пустым.

Ответ: Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре. Это уточнение важно даже для орбиты, которая кажется почти круговой. В таком случае фокус может быть близок к центру, но закон говорит именно о фокусе.

Задача 2. Планета за равные промежутки времени проходит участки орбиты вблизи Солнца и вдали от него. На каком участке её скорость больше? Здесь сравниваются расстояние до Солнца и скорость движения.

1. Сначала выбираем второй закон Кеплера: радиус-вектор за равные времена заметает равные площади. Значит, нельзя считать, что за эти промежутки планета проходит одинаковые по длине участки.
2. Вблизи Солнца радиус-вектор короче. Чтобы за то же время заметать такую же площадь, планета должна пройти более длинный участок орбиты.
3. За одинаковый промежуток времени более длинный путь означает большую скорость. Вдали от Солнца планета проходит меньший участок и движется медленнее.

Ответ: скорость планеты больше вблизи Солнца. Вывод получается из равенства заметённых площадей, а не из предположения о постоянной скорости. При удалении от Солнца скорость уменьшается.

Задача 3. Большая полуось орбиты одной планеты в 4 раза больше большой полуоси орбиты другой планеты, обращающейся вокруг того же центрального тела. Во сколько раз различаются их периоды? Обозначим большую полуось первой планеты a₁, второй — a₂, а периоды — T₁ и T₂.

1. Условие говорит, что центральное тело одно и то же, поэтому можно применять третий закон в отношении величин: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³. Это позволяет использовать отношение полуосей, не подставляя конкретные расстояния.
2. Подставляем a₁/a₂ = 4. Тогда T₁²/T₂² = 4³ = 64, а отношение периодов равно квадратному корню из 64.
3. Получаем T₁/T₂ = 8. Период первой планеты больше, потому что её орбита имеет большую полуось.

Ответ: периоды различаются в 8 раз; у планеты с большей полуосью период в 8 раз больше. Проверка: квадрат отношения периодов равен 64, как и куб отношения полуосей. Важно извлечь квадратный корень после сравнения квадратов периодов.

Типичные ошибки

Орбиту называют окружностью, потому что при малом эксцентриситете она почти неотличима от неё. Такое приближение может быть удобно, но первый закон говорит об эллипсе. Ошибку легко проверить по формулировке закона: в ней указана большая полуось и фокус эллипса.

Солнце помещают в центр эллипса, поскольку в привычной схеме орбита часто изображается почти круглой. Однако центр и фокус — не одно и то же, а первый закон указывает именно на фокус. Для самопроверки найдите в условии вопрос о положении Солнца и вспомните, где расположены фокусы.

Считают, что планета движется с постоянной скоростью, потому что её обращение по орбите повторяется. Но повторяемость траектории не означает равномерности движения: по второму закону скорость меняется. Проверьте себя вопросом, одинаковые ли площади заметает радиус-вектор за одинаковое время на разных участках; при изменении расстояния до Солнца скорость должна меняться.

В третьем законе иногда сравнивают периоды и большие полуоси по одинаковым степеням. Ошибку допускают, если запоминают лишь, что величины связаны, но забывают точную формулу. Самопроверка проста: в отношении периодов стоят квадраты, а в отношении больших полуосей — кубы, то есть T₁²/T₂² = a₁³/a₂³.

Связь с другими темами

Для понимания орбит сначала нужно знать свойства эллипса: его фокусы и большую полуось. В задачах на третий закон понадобятся отношения величин, возведение в степень и извлечение корня. Эти навыки позволяют перейти от сравнения орбит к вычислению периода.

Законы Кеплера пригодятся при изучении закона всемирного тяготения, движения спутников и космических аппаратов. Они дают математическое описание движения, а ньютоновское тяготение связывает его с действием силы. Поэтому законы помогают не только описывать планетные орбиты, но и анализировать движение других тел вокруг центрального объекта.

Что запомнить

• Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
• За равные промежутки времени радиус-вектор планеты заметает равные площади.
• Вблизи Солнца планета движется быстрее, чем вдали от него.
• Квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей орбит.
• Для тел, обращающихся вокруг одного центрального тела, отношение T²/a³ одинаково.
• Законы Кеплера описывают движение, а тяготение Ньютона объясняет его причину.