§ 20. Потенциал и разность потенциалов электрического поля

Определения и обозначения

Электрический потенциал φ — это потенциальная энергия электрического заряда в данной точке, отнесённая к величине заряда. Его вычисляют по формуле φ = Eп/q и измеряют в вольтах (В). Потенциал нужен, чтобы описывать энергетическое состояние точки поля независимо от того, какой именно заряд в неё поместили.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 — это величина φ₁ − φ₂. Она равна работе электрического поля при перемещении положительного заряда из точки 1 в точку 2, делённой на заряд: U₁₂ = A₁₂/q. С помощью этой величины сравнивают две точки и определяют, какую работу поле может совершить.

Напряжение U₁₂ — другое название разности потенциалов между двумя точками. Оно показывает, насколько различаются потенциалы этих точек, и измеряется в вольтах. Индексы 1 и 2 напоминают, откуда и куда перемещают заряд, поэтому их порядок важен.

Как это устроено

Потенциал связывает электрическое поле с потенциальной энергией заряда. Если в точке находится заряд q, его энергия выражается формулой Eп = qφ. Поэтому при одном и том же потенциале больший заряд имеет большую потенциальную энергию, а сам потенциал точки от величины помещённого заряда не зависит.

Потенциальную энергию невозможно определить без сравнения с каким-либо уровнем, поэтому нулевой уровень выбирают условно. Например, за ноль можно принять энергию в удалённой точке или в другой удобной точке поля. Если изменить этот выбор, потенциалы всех точек сместятся на одинаковую величину, и их разность останется прежней.

Работа электростатического поля при переносе заряда зависит от начальной и конечной точек, а не от формы пути между ними. Это происходит потому, что электростатическое поле является потенциальным: возвращение заряда в исходную точку даёт суммарную работу, равную нулю. Поэтому работу удобно находить через потенциалы двух точек.

Для перемещения заряда из точки 1 в точку 2 работа равна A₁₂ = q(φ₁ − φ₂). В скобках стоит разность потенциалов, поэтому U₁₂ = A₁₂/q. Если поменять направление перемещения, работа и напряжение изменят знак, поскольку начальная и конечная точки поменяются местами.

Один вольт — это такая разность потенциалов, при которой поле совершает работу 1 Дж при перемещении заряда 1 Кл. Из определения единицы следует соотношение 1 В = 1 Дж/Кл. Если заряд задан в микрокулонах или нанокулонах, перед расчётом его переводят в кулоны.

Потенциал и разность потенциалов

Сначала определите, идёт ли речь об одной точке или о переносе между двумя точками. Затем выберите формулу из соответствующего столбца и проверьте единицы измерения. Если в обозначении есть индексы 1 и 2, сохраняйте заданное направление перемещения.

Разбор задач

Задача 1

Потенциальная энергия заряда 2 Кл в точке равна 10 Дж. Требуется найти потенциал этой точки. Даны энергия и заряд, поэтому подходит определение потенциала.

1. Записываем формулу: φ = Eп/q.
2. Подставляем значения: φ = 10 Дж / 2 Кл.
3. Выполняем деление: φ = 5 Дж/Кл = 5 В.

Ответ: потенциал точки равен 5 В. Единица получилась правильной, потому что 1 Дж/Кл — это 1 В.

Задача 2

Заряд 0,5 Кл перемещают из точки 1 в точку 2, и поле совершает работу 6 Дж. Нужно найти напряжение U₁₂ для указанного направления. Используем формулу, в которой работа делится на перемещаемый заряд.

1. Записываем: U₁₂ = A₁₂/q.
2. Подставляем данные: U₁₂ = 6 Дж / 0,5 Кл.
3. Получаем: U₁₂ = 12 Дж/Кл = 12 В.

Ответ: U₁₂ = 12 В. Знак положительный, потому что работа поля в заданном направлении указана положительной.

Задача 3

Напряжение между первой и второй точками равно 12 В, а заряд 0,25 Кл перемещают из первой точки во вторую. Требуется определить работу поля. Здесь известны напряжение и заряд, поэтому работу выражаем из основной формулы.

1. Записываем: A₁₂ = qU₁₂.
2. Подставляем значения: A₁₂ = 0,25 Кл · 12 В.
3. Так как 1 В = 1 Дж/Кл, получаем A₁₂ = 3 Дж.

Ответ: поле совершит работу 3 Дж. Направление уже учтено индексами U₁₂, поэтому менять знак дополнительно не нужно.

Типичные ошибки

Потенциал и разность потенциалов иногда считают одним и тем же. Причина ошибки — одинаковая единица измерения: вольт. Проверьте, относится ли величина к одной точке или сразу к двум.

Потенциал путают с потенциальной энергией. Энергия зависит от величины заряда по формуле Eп = qφ, а потенциал характеризует саму точку поля. Для проверки посмотрите, делится ли энергия на заряд в условии.

Можно забыть о порядке точек и записать U₁₂ вместо U₂₁ без изменения знака. Это неверно, потому что U₂₁ = −U₁₂. Сверьте направление перемещения с индексами в формуле.

Ещё одна ошибка — подстановка микрокулонов или нанокулонов прямо в формулу. Например, 1 мкКл = 10⁻⁶ Кл, а 1 нКл = 10⁻⁹ Кл. Перед вычислением переведите заряд в кулоны и только потом находите работу или напряжение.

Связь с другими темами

Для понимания потенциала нужны понятия электрического заряда, электрического поля, работы и потенциальной энергии. Потенциал объединяет эти знания: он показывает энергию, приходящуюся на единицу заряда.

Напряжение особенно важно при изучении электрического тока и цепей. В дальнейшем напряжение между точками цепи измеряют вольтметром, а знание формулы U₁₂ = A₁₂/q помогает понимать смысл его показаний.

Что запомнить

• Потенциал обозначают φ, напряжение — U.
• Потенциал равен потенциальной энергии, делённой на заряд: φ = Eп/q.
• Разность потенциалов между точками 1 и 2: U₁₂ = φ₁ − φ₂.
• Работа поля при перемещении заряда: A₁₂ = qU₁₂.
• Единица потенциала и напряжения — вольт: 1 В = 1 Дж/Кл.
• При перестановке начальной и конечной точек знак разности потенциалов меняется.