§ 40. Линзы, оптическая сила линзы, формула тонкой линзы. Получение изображения в линзах

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями или сферической и плоской поверхностями. Преломляясь на границах линзы, световые лучи меняют направление. Поэтому линза может сводить лучи или заставлять их расходиться, а с её помощью получают изображения предметов.

Собирающая линза после прохождения которой параллельные главной оптической оси лучи сходятся в одной точке. Обычно такая линза толще в середине, чем у краёв: её форма направляет преломлённые лучи к оси. Она нужна, когда свет требуется собрать в небольшой области.

Рассеивающая линза после которой параллельные оси лучи расходятся так, будто вышли из одной точки. Эта точка является мнимым фокусом: сами лучи там не встречаются, но встречаются их продолжения назад. Середина рассеивающей линзы тоньше краёв, а её действие помогает расширить пучок света.

Оптическая сила линзы D показывает, насколько сильно линза изменяет ход света, и равна обратному фокусному расстоянию: D = 1/F. Фокусное расстояние F для расчёта выражают в метрах, а единицу оптической силы называют диоптрией. У собирающей линзы D положительна, у рассеивающей — отрицательна.

Как это устроено

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы, а оптический центр — точка на этой оси внутри линзы. Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, считают практически не меняющим направление. Это приближение удобно: небольшое смещение луча внутри тонкой линзы почти не влияет на построение изображения. Главные фокусы лежат на оси по обе стороны линзы; фокусное расстояние измеряют от оптического центра до фокуса.

Чтобы найти фокус собирающей линзы, на неё направляют пучок лучей, параллельных главной оптической оси. После преломления лучи сходятся, и расстояние от линзы до точки встречи — фокусное расстояние. Чем оно меньше, тем сильнее линза сводит лучи: это следует из D = 1/F. У рассеивающей линзы фокус находят по продолжениям вышедших лучей, потому что сами лучи расходятся.

Формула тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f связывает фокусное расстояние F, расстояние d от предмета до линзы и расстояние f от линзы до изображения. Она получается из подобия треугольников, которые образуют лучи при построении, и применима к тонкой линзе. В школьном правиле знаков для реального предмета d положительно; f положительно, если изображение действительное, и отрицательно, если оно мнимое. Фокусное расстояние F берут со знаком: у собирающей линзы оно положительно, у рассеивающей отрицательно.

Для построения изображения собирающей линзой из вершины предмета проводят два луча. Луч, идущий параллельно оси, после линзы проходит через главный фокус; луч через оптический центр практически не отклоняется. Точка пересечения этих лучей задаёт вершину изображения, а её положение относительно оси показывает, прямое оно или перевёрнутое. Если лучи не встречаются, продолжают их назад: пересекутся продолжения — изображение мнимое.

Когда предмет стоит дальше двойного фокуса, характерные лучи пересекаются между F и 2F по другую сторону линзы. Если предмет находится в 2F, изображение возникает тоже в 2F; оно получается того же размера, что предмет. Между F и 2F изображение возникает за 2F и увеличивается. Причина изменения размера — разный угол, под которым лучи от предмета сходятся после линзы.

У рассеивающей линзы после преломления лучи расходятся, поэтому реальные лучи от предмета не пересекаются за линзой. Их продолжения назад встречаются со стороны предмета, и там глаз видит мнимое изображение. Оно прямое и уменьшенное: по сравнению с лучами от настоящего предмета продолжения дают меньшую высоту изображения. Для построения используют луч через оптический центр и луч, параллельный оси, который после линзы расходится так, будто вышел из фокуса.

Изображение предмета в линзах

Сначала найдите на схеме F и 2F, затем отметьте положение предмета и выберите соответствующую строку. «Действительное» означает, что в точке изображения встречаются сами лучи; мнимое видно там, где сходятся их продолжения. Размер и направление изображения можно проверить построением двух лучей.

Разбор задач

Оптическая сила собирающей линзы

Условие. Определите оптическую силу собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,25 м. Требуется получить значение в диоптриях, поэтому сначала проверим единицы. Фокусное расстояние уже дано в метрах.

1. Записываем формулу: D = 1/F.
2. Подставляем F = 0,25 м: D = 1/0,25 = 4 м⁻¹.
3. Единица м⁻¹ равна диоптрии; собирающая линза имеет положительную оптическую силу.

Ответ: D = +4 дптр.

Расстояние до изображения и его вид

Условие. Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдём расстояние до изображения и определим его свойства. Все расстояния можно оставить в сантиметрах, потому что в формуле используются их отношения.

1. Записываем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Выражаем обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 1/15.
3. Получаем f = 15 см. Предмет находится дальше 2F, так как 2F = 20 см, значит изображение возникнет между F и 2F.

Ответ: расстояние до изображения — 15 см; оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Высота изображения

Условие. Предмет высотой 4 см расположен в 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Сначала найдём расстояние до изображения, затем применим увеличение. Сравнение высот покажет, больше изображение предмета или меньше.

1. По формуле 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/15 = 1/30, поэтому f = 30 см.
2. Увеличение по модулю равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: |f|/d = 30/15 = 2.
3. Высота изображения H = 4 см · 2 = 8 см. Предмет находится между F и 2F, поэтому изображение действительное и перевёрнутое.

Ответ: изображение находится в 30 см от линзы, его высота 8 см; оно действительное, перевёрнутое и увеличенное в 2 раза.

Типичные ошибки

При расчёте оптической силы иногда подставляют фокусное расстояние в сантиметрах и получают неверное число или единицу. Так происходит, когда забывают, что диоптрия связана с метром: например, 25 см нужно заменить на 0,25 м. Проверьте себя, записав D в м⁻¹, то есть в диоптриях.

Собирающую и рассеивающую линзы путают по форме или знаку оптической силы. Посмотрите, какая часть толще: у собирающей линзы середина толще краёв, а у рассеивающей — тоньше. Затем сверьте знак: у собирающей D положительна, у рассеивающей отрицательна.

Неверно считать, что изображение возникает в месте пересечения любых продолжений лучей. Действительное изображение создают сами лучи, которые физически встречаются; мнимое возникает в точке пересечения продолжений назад. Чтобы проверить ответ, проследите, что именно пересеклось на вашей схеме.

Иногда полагают, что собирающая линза всегда даёт действительное изображение. Но если предмет расположен ближе к линзе, чем её фокус, лучи после линзы расходятся и пересекаются только при мысленном продолжении назад. В этом случае изображение мнимое, прямое и увеличенное; сверяйте положение предмета с F.

Связь с другими темами

Для изучения линз пригодятся закон прямолинейного распространения света, знания об отражении и преломлении, а также умение строить ход лучей. Именно преломление меняет направление света на границе линзы, а геометрические построения помогают определить место изображения. Те же знания применяются в очках и фотоаппаратах, микроскопах и телескопах. Понимание линз понадобится при изучении глаза и принципов работы оптических приборов.

Что запомнить

• Собирающая линза сводит параллельные лучи в фокус, рассеивающая — разводит их.
• Фокусное расстояние отсчитывают от оптического центра до главного фокуса.
• Оптическая сила D = 1/F; её единица — диоптрия.
• Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения.
• Для построения изображения достаточно использовать два характерных луча.
• Рассеивающая линза даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение реального предмета.