§ 1.1. Электромагнитные колебания в колебательном контуре

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь с конденсатором ёмкостью C и катушкой индуктивности L. Конденсатор может запасать энергию электрического поля, а катушка — магнитного поля, создаваемого током. Для колебаний нужны оба элемента: без конденсатора не возникнет начального электрического запаса энергии, а без катушки не будет самоиндукции, поддерживающей изменение тока. Поэтому контур позволяет наблюдать периодический обмен энергией между двумя полями.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда q, напряжения и силы тока в контуре после выведения его из равновесия, без внешнего периодического воздействия. Например, конденсатор сначала заряжают, а затем подключают к катушке. Начальный запас энергии запускает изменения, которые продолжаются благодаря взаимодействию конденсатора и катушки. Понятие свободных колебаний помогает отличить такой процесс от колебаний, поддерживаемых внешним источником.

Собственная частота — частота свободных колебаний идеального контура. Она определяется параметрами самого контура: ёмкостью C и индуктивностью L, а не частотой внешнего источника. Частота показывает, сколько полных колебаний происходит за секунду, и измеряется в герцах. По ней можно сравнивать контуры и предсказывать, как изменится их работа при замене элементов.

Формула Томсона связывает период T свободных колебаний с ёмкостью и индуктивностью: T = 2π√(LC). Период — время одного полного цикла, измеряется в секундах. Формула применяется для идеального контура, где потерями энергии можно пренебречь. Она позволяет рассчитать время колебаний по характеристикам элементов, не прослеживая каждый момент движения зарядов.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому на его обкладках накапливаются противоположные заряды и возникает электрическое поле. Когда его подключают к катушке, заряды начинают двигаться по цепи, то есть появляется ток. Этот ток создаёт вокруг катушки магнитное поле. Так начальный запас электрической энергии запускает движение зарядов и формирует вторую форму энергии контура.

По мере разрядки конденсатора разность потенциалов между его обкладками уменьшается, но ток не исчезает мгновенно. Причина — самоиндукция: изменение тока в катушке порождает ЭДС, которая препятствует этому изменению. Поэтому ток продолжает идти, хотя конденсатор уже разряжен. Он переносит заряды дальше и перезаряжает конденсатор с обратной полярностью.

Когда конденсатор перезаряжен, ток постепенно ослабевает, а магнитное поле катушки уменьшается. Энергия магнитного поля при этом превращается в энергию электрического поля конденсатора. Затем конденсатор снова разряжается, но ток течёт в обратном направлении. В идеальном контуре этот процесс повторяется, потому что энергия не теряется и переходит из одного поля в другое.

В идеальном контуре заряд и ток меняются гармонически — по законам, похожим на синус и косинус. Если в начальный момент заряд максимален, можно записать q = q_max cos(ωt), а при выбранном направлении тока i = I_max sin(ωt), где ω — циклическая частота. Графики сдвинуты на четверть периода: при максимальном заряде ток равен нулю, а при нулевом заряде ток максимален. Это объясняется тем, что ток показывает скорость изменения заряда.

Период можно получить из уравнений контура: напряжение конденсатора равно q/C, а ЭДС самоиндукции связана с изменением тока и индуктивностью L. Поскольку i = −dq/dt, эти соотношения дают уравнение свободных колебаний q'' + q/(LC) = 0. Его гармоническое решение имеет циклическую частоту ω = 1/√(LC), поэтому T = 2π/ω = 2π√(LC). При увеличении ёмкости или индуктивности период растёт, а частота ν = 1/T уменьшается.

Величины и соотношения в идеальном колебательном контуре

Сначала определите, какая величина требуется, затем выберите соответствующую строку и проверьте единицы измерения. Для энергии в идеальном контуре сумма W_э + W_м остаётся постоянной. Формулы для заряда и тока описывают выбранный начальный момент и направление тока, поэтому их знаки могут отличаться при другом выборе отсчёта.

Разбор задач

Начальный заряд конденсатора

Конденсатор ёмкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 100 В и подключили к катушке. Требуется найти начальный заряд. Здесь нужны только ёмкость и напряжение до начала колебаний: катушка на величину уже накопленного заряда не влияет. Используем определение ёмкости q = CU.

1. Запишем данные: C = 2 мкФ = 2 · 10⁻⁶ Ф, U = 100 В.
2. Подставим их в формулу: q = CU = 2 · 10⁻⁶ · 100 = 2 · 10⁻⁴ Кл.
3. Проверим размерность: фарад, умноженный на вольт, даёт кулон.

Ответ: начальный заряд равен 2 · 10⁻⁴ Кл, или 200 мкКл.

Период и частота свободных колебаний

В идеальном контуре C = 4 мкФ, L = 25 мГн. Нужно найти период и частоту. Формула Томсона требует единиц СИ, поэтому сначала переводим микрофарады в фарады и миллигенри в генри. Затем вычисляем период, а частоту находим как величину, обратную периоду.

1. Переведём значения: C = 4 · 10⁻⁶ Ф, L = 25 · 10⁻³ Гн.
2. Вычислим LC = 10⁻⁷, поэтому √(LC) ≈ 3,16 · 10⁻⁴ с.
3. Подставим: T = 2π√(LC) ≈ 1,99 · 10⁻³ с.
4. Найдём частоту: ν = 1/T ≈ 1/(1,99 · 10⁻³) ≈ 503 Гц.

Ответ: период примерно 2,0 мс, частота примерно 503 Гц. Их произведение близко к единице, что служит проверкой вычислений.

Максимальная сила тока и энергия

В контуре заданы ёмкость C, индуктивность L и максимальный заряд q_max. Требуется определить максимальную силу тока и сравнить энергии при максимальном токе. В максимуме заряда энергия электрического поля равна q_max²/(2C), а ток равен нулю. В идеальном контуре эта энергия затем полностью переходит в магнитную.

1. Запишем сохранение энергии: q_max²/(2C) = LI_max²/2.
2. Сократим ½ и выразим ток: I_max = q_max/√(LC).
3. В момент максимального тока заряд конденсатора равен нулю, поэтому W_э = 0.
4. Вся энергия контура в этот момент магнитная: W_м = LI_max²/2 = q_max²/(2C).

Ответ: I_max = q_max/√(LC); при максимальном токе электрическая энергия равна нулю, а магнитная максимальна.

Типичные ошибки

Считать, что ток прекращается сразу после разрядки конденсатора. Так думают, если рассматривать только напряжение конденсатора и забывать о самоиндукции катушки. Изменяющееся магнитное поле поддерживает ток, поэтому он продолжает переносить заряды. Проверьте себя: если ток оборвался бы мгновенно, конденсатор не смог бы перезарядиться.

Считать, что максимальные заряд и сила тока достигаются одновременно. Причина ошибки — привычка представлять обе величины как синхронно растущие. На деле заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода: когда q максимален, i равен нулю, а при q = 0 ток максимален. Проверка — сопоставить состояния электрического и магнитного полей.

Подставлять микрофарады или миллигенри напрямую в формулу Томсона. Приставки микро и милли означают множители 10⁻⁶ и 10⁻³, поэтому такая подстановка меняет результат. Перед расчётом переведите ёмкость в фарады, а индуктивность — в генри. Проверить ответ можно по единицам: период должен получиться в секундах.

Путать период с частотой. Период T — длительность одного колебания, а частота ν — число колебаний за секунду. Эти величины не равны: они связаны соотношением ν = 1/T, измеряются соответственно в секундах и герцах. Для самопроверки убедитесь, что при увеличении периода частота уменьшается.

Связь с другими темами

Для работы с контуром нужно знать связь заряда, ёмкости и напряжения конденсатора q = CU, а также понимать, что такое электрический ток и магнитное поле катушки. Объяснение самоиндукции опирается на электромагнитную индукцию: изменение магнитного поля вызывает ЭДС. Переход энергии между полями связан с законом сохранения энергии; в реальной цепи часть энергии рассеивается. Эти идеи пригодятся при изучении переменного тока, резонанса и электромагнитных волн.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Свободные электромагнитные колебания возникают после начального возмущения контура без внешнего периодического воздействия.
• Энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.
• Заряд конденсатора и сила тока изменяются гармонически, но достигают максимумов в разные моменты.
• Период идеальных колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Собственная частота связана с периодом соотношением ν = 1/T.