§ 1.2. Уравнение свободных электромагнитных колебаний

Определения и обозначения

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в контуре после начального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Иными словами, система колеблется благодаря энергии, сообщённой ей сначала, а не потому, что источник непрерывно меняет напряжение. Такое определение помогает отличать свободные колебания от вынужденных, поддерживаемых внешним источником.

Колебательный контур — замкнутая цепь с конденсатором и катушкой индуктивности, в которой могут происходить электромагнитные колебания. Конденсатор способен запасать энергию электрического поля, а катушка — магнитного поля. Контур нужен для взаимного преобразования этих видов энергии.

Собственная циклическая частота — частота свободных колебаний контура, определяемая его индуктивностью L и ёмкостью C. Её обозначают ω₀ и измеряют в радианах в секунду. Зная эту величину, можно определить, насколько быстро повторяется колебательный процесс.

Уравнение свободных колебаний — зависимость заряда конденсатора от времени, описываемая гармонической функцией. Для идеального контура её записывают как q(t) = qₘ cos(ω₀t + φ₀). Это уравнение позволяет найти заряд в любой момент, если известны амплитуда, частота и начальная фаза.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают: на его обкладках накапливаются разноимённые заряды, а в электрическом поле запасается энергия. После замыкания контура начинается разряд, и по проводам движутся заряды — возникает ток. Значит, запасённая энергия приводит систему в движение, подобно тому как отклонение маятника запускает механические колебания.

Ток в катушке создаёт магнитное поле, энергия которого растёт по мере разряда конденсатора. Когда конденсатор разряжен, ток не исчезает мгновенно: изменению тока препятствует самоиндукция, то есть возникновение ЭДС, направленной против этого изменения. Поэтому ток продолжает течь и переносит заряды на обкладки в обратном направлении, перезаряжая конденсатор с противоположной полярностью.

В идеальном контуре сопротивлением пренебрегают, поэтому энергия не теряется на нагрев и лишь переходит между электрическим и магнитным полями. В такой системе возвращающая причина пропорциональна отклонению заряда, а потому движение описывается гармонической функцией, как у пружинного маятника. Уравнение имеет вид q(t) = qₘ cos(ω₀t + φ₀): qₘ — наибольший модуль заряда, а φ₀ задаёт состояние контура в начальный момент.

Сила тока показывает, как быстро меняется заряд, поэтому I = dq/dt. Дифференцируя уравнение заряда, получаем I(t) = −ω₀qₘ sin(ω₀t + φ₀), если положительное направление тока согласовано с выбранным знаком заряда. Синус и косинус отличаются фазой на π/2: при максимальном заряде ток равен нулю, а при прохождении заряда через ноль модуль тока максимален.

Для идеального контура уравнение движения заряда имеет вид Lq″ + q/C = 0. Сравнение с уравнением гармонических колебаний q″ + ω₀²q = 0 даёт ω₀² = 1/(LC), то есть ω₀ = 1/√(LC). Поскольку T = 2π/ω₀, получаем T = 2π√(LC): увеличение индуктивности или ёмкости увеличивает период и замедляет колебания.

Величины и параметры свободных колебаний в колебательном контуре

Чтобы найти значение величины, сначала выберите соответствующую строку и проверьте, какие данные нужны для формулы. Для тока важно учитывать знак: он задаёт направление относительно принятого в задаче. Формулы энергии показывают, как меняется запас энергии, но в идеальном контуре Wэ + Wм остаётся постоянной.

Разбор задач

Задача 1. В контуре L = 0,20 Гн и C = 5,0 мкФ. Найдём собственную циклическую частоту и период. Переводим ёмкость в СИ: 5,0 мкФ = 5,0·10⁻⁶ Ф. Подстановка в формулы даёт ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,20·5,0·10⁻⁶) = 1000 рад/с и T = 2π√(LC) = 2π/ω₀ ≈ 6,28·10⁻³ с.

1. Запишите данные и переведите микрофарады в фарады, иначе численный результат будет неверным.

2. Найдите произведение LC, затем вычислите ω₀ = 1/√(LC); проверьте, что единица результата — рад/с.

3. Найдите период по формуле T = 2π√(LC) или T = 2π/ω₀ и сопоставьте оба результата.

Ответ: ω₀ = 1000 рад/с, T ≈ 6,28 мс. Проверка двумя формулами полезна, потому что выявляет ошибки при переводе единиц или извлечении корня. Кроме того, большой период согласуется с относительно большими значениями L и C.

Задача 2. Заряд задан уравнением q(t) = 4,0·10⁻⁶ cos(1000t) Кл. Найдём заряд и ток при t = 1,0 мс. Сначала подставляем время, выраженное в секундах: аргумент косинуса равен 1000·0,001 = 1 рад, поэтому q ≈ 4,0·10⁻⁶ cos 1 ≈ 2,16·10⁻⁶ Кл.

1. Определите угловую частоту из аргумента: ω₀ = 1000 рад/с, а амплитуду заряда — как коэффициент qₘ = 4,0·10⁻⁶ Кл.

2. Вычислите заряд в заданный момент, подставив время в секундах: q = qₘ cos(ω₀t).

3. Продифференцируйте функцию: I(t) = −ω₀qₘ sin(ω₀t). При t = 1,0 мс получаем I ≈ −3,37·10⁻³ А.

Ответ: q ≈ 2,16 мкКл, I ≈ −3,37 мА. Отрицательный знак тока означает, что реальное направление противоположно выбранному положительному направлению. Если забыть знак минус при дифференцировании, направление тока окажется указано неверно.

Задача 3. По графику или уравнению q(t) = 6,0·10⁻⁶ cos(500t + π/3) Кл требуется определить амплитуду, начальную фазу, период и произведение LC. Коэффициент перед косинусом сразу даёт qₘ = 6,0 мкКл, а постоянное слагаемое в аргументе — φ₀ = π/3. Коэффициент при времени равен ω₀ = 500 рад/с.

1. Сопоставьте выражение с общей формой q(t) = qₘ cos(ω₀t + φ₀), чтобы прочитать амплитуду, частоту и фазу.

2. Вычислите период: T = 2π/ω₀ = 2π/500 ≈ 0,0126 с.

3. Используйте ω₀ = 1/√(LC): LC = 1/ω₀² = 4,0·10⁻⁶ с². Отдельно найти L и C можно только при наличии дополнительного условия.

Ответ: qₘ = 6,0 мкКл, φ₀ = π/3, T ≈ 12,6 мс, LC = 4,0·10⁻⁶ с². Если данные представлены графиком, амплитуду считывают по максимальному отклонению, а период — по времени между одинаковыми фазовыми точками. Затем находят ω₀ = 2π/T и применяют связь с параметрами контура.

Типичные ошибки

Путать циклическую частоту ω₀ с обычной частотой ν. Их связывает формула ω₀ = 2πν, поэтому значения отличаются в 2π раз. Ошибка возникает, когда коэффициент при времени принимают за число колебаний в секунду. Проверьте себя: ν измеряется в герцах, ω₀ — в рад/с, а T = 1/ν = 2π/ω₀.

Считать, что заряд и ток достигают максимумов одновременно. Это неверно, потому что ток пропорционален производной заряда: когда заряд достигает максимума, его мгновенное изменение равно нулю. Обычно путают графики, не учитывая их сдвиг по фазе. Для проверки найдите производную q(t) и сравните моменты максимумов.

Записывать ток без знака или с неверной фазой. При дифференцировании косинуса появляется минус: из q = qₘ cos(ω₀t + φ₀) следует I = −ω₀qₘ sin(ω₀t + φ₀). Знак зависит от выбранного направления тока, поэтому его нельзя менять произвольно. Подставьте момент, когда заряд уменьшается: знак тока должен соответствовать принятому направлению движения зарядов.

Применять формулы идеального контура к цепи с заметным сопротивлением. В реальной цепи часть энергии рассеивается в виде тепла, поэтому амплитуда со временем уменьшается. Формулы гармонических колебаний с постоянной амплитудой тогда дают лишь приближение. Проверьте условие задачи: если сопротивление учитывается или наблюдается затухание, амплитуду нельзя считать неизменной.

Связь с другими темами

Для описания заряда нужны понятия гармонических колебаний: амплитуда, период, частота и фаза. Связь I = dq/dt соединяет электрический ток с изменением заряда, а ёмкость и индуктивность определяют свойства контура. Самоиндукция объясняет продолжение тока, а выражения для энергии связывают колебания с электрическим и магнитным полями. Эти знания понадобятся при изучении вынужденных колебаний, резонанса и электромагнитных волн.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура без периодического внешнего воздействия.
• В идеальном контуре заряд и ток изменяются гармонически.
• Заряд описывается уравнением q(t) = qₘ cos(ω₀t + φ₀).
• Сила тока равна производной заряда по времени: I = dq/dt.
• Собственная циклическая частота контура равна ω₀ = 1/√(LC).
• Период свободных колебаний равен T = 2π√(LC).
• В идеальном контуре энергия переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.