§ 1.5. Графики гармонических колебаний

Определения и обозначения

Гармоническое колебание — колебание, при котором координата изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Такое движение можно описать простой периодической функцией и изобразить гладкой волнообразной линией. Это определение помогает отличить гармоническое движение от колебаний, закон которых не является синусоидальным.

Амплитуда A — наибольшее по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Она показывает, насколько далеко тело уходит от середины колебания, и задаёт высоту графика относительно нулевого уровня. Крайние положения равны +A и −A, поэтому расстояние между ними составляет 2A.

Период T — время одного полного колебания, а частота ν — число колебаний за единицу времени; эти величины связаны равенством ν = 1/T. Период измеряют в секундах, частоту — в герцах. Они нужны, чтобы описать, насколько быстро повторяется движение, и понять горизонтальный масштаб графика.

Циклическая частота ω показывает, как быстро изменяется фаза, а начальная фаза φ₀ задаёт состояние колебательной системы при t = 0. Угловую скорость изменения фазы измеряют в радианах в секунду; начальная фаза указывается в радианах. Эти обозначения позволяют учесть скорость колебаний и то, с какой точки графика начинается движение.

Как это устроено

Запись x(t) = A cos(ωt + φ₀) представляет координату как функцию времени: каждому моменту t соответствует своё значение x. Выражение ωt + φ₀ называют фазой, потому что оно указывает, на каком этапе повторяющегося движения находится тело. Косинус переводит значение фазы в координату, а коэффициент A задаёт масштаб отклонения. Например, если фаза равна нулю, косинус равен единице и координата достигает +A.

Фаза растёт равномерно: при увеличении времени на одну секунду она увеличивается на ω радиан. Синус и косинус повторяют свои значения после изменения аргумента на 2π, поэтому график возвращается к прежнему состоянию после такого изменения фазы. За период это изменение равно ωT, следовательно, ωT = 2π и T = 2π/ω. По этой причине период нельзя находить простым обратным значением ω: полный оборот фазы составляет не один радиан, а 2π радиан.

Амплитуда задаёт вертикальный размах графика координаты: косинус принимает значения от −1 до +1, а умножение на A растягивает его до границ −A и +A. Начальная фаза определяет, какое значение косинуса получается в момент t = 0, а значит, и начальную координату. Она также влияет на направление движения в этот момент: наклон графика показывает, растёт координата или убывает. В формуле cos(ωt + φ₀) положительная φ₀ означает сдвиг синусоиды влево по времени на φ₀/ω.

Скорость — это производная координаты по времени, поэтому график скорости связан с графиком координаты изменением фазы. Если x(t) = A cos(ωt + φ₀), то v(t) = −Aω sin(ωt + φ₀), что соответствует сдвигу на π/2 относительно координаты. Ускорение является производной скорости и равно a(t) = −Aω² cos(ωt + φ₀), поэтому оно противоположно координате по фазе. Это объясняет, почему при крайних значениях координаты скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю.

Изменение параметров формулы по-разному меняет вид графика. При увеличении A график растягивается по вертикали, но расстояние по времени между его повторениями не меняется. Изменение T растягивает или сжимает график вдоль оси времени: большему периоду соответствует более редкое повторение. Начальная фаза сдвигает всю кривую вдоль оси времени, не меняя ни её высоты, ни периода.

Характеристики графиков координаты, скорости и ускорения

Сначала выберите строку таблицы, которая отвечает на нужный вопрос: например, об амплитуде или моменте максимума. Формулы скорости и ускорения получены из закона координаты, поэтому их знаки и фазовые сдвиги важны при сравнении графиков. Фаза в таблице дана относительно координаты, а период у всех трёх величин одинаковый.

Разбор задач

По графику координаты определить амплитуду и период колебаний тела

Условие: дан график координаты x(t), требуется найти амплитуду и период. Числовых отметок конкретного графика здесь нет, поэтому обозначим его крайние координаты xмакс и xмин, а времена двух соседних одинаковых состояний — t₁ и t₂. Такой способ применим к графику с любыми шкалами.

1. Найдите положение равновесия — середину между крайними значениями координаты. Амплитуда равна расстоянию от этого уровня до любого крайнего положения, то есть A = (xмакс − xмин)/2. Деление пополам нужно потому, что полный размах включает отклонения и вверх, и вниз.

2. Выберите два соседних одинаковых состояния: например, два максимума или два минимума. Измерьте разность соответствующих времён, T = t₂ − t₁. Между такими точками график успевает пройти один полный цикл, а не половину колебания.

3. Проверьте результат: расстояние между верхним и нижним экстремумами должно быть 2A, а на участке длиной T рисунок должен повториться. Если выбраны соседние максимум и минимум, их временной интервал равен T/2, поэтому его нельзя принимать за полный период.

Ответ: A = (xмакс − xмин)/2; T = t₂ − t₁ для соседних одинаковых состояний графика.

Построить график x(t) = 0,08 cos(4πt) за два периода

Условие: координата задана законом x(t) = 0,08 cos(4πt), нужно построить график за два периода и отметить амплитуду и период. Сравнивая формулу с x(t) = A cos(ωt + φ₀), видим, что A = 0,08 м, ω = 4π рад/с, φ₀ = 0. График начинается с максимальной координаты, так как cos 0 = 1.

1. Найдите период по формуле T = 2π/ω. Получается T = 2π/(4π) = 0,5 с; два периода занимают время 2T = 1 с. На оси времени отметьте участок от 0 до 1 с.

2. Разделите каждый период на четыре равные части, чтобы получить точки через T/4 = 0,125 с. Для косинусоиды при начальной фазе ноль значения координаты за один период последовательно равны A, 0, −A, 0, A. Это даёт точки (0; 0,08), (0,125; 0), (0,25; −0,08), (0,375; 0), (0,5; 0,08).

3. Повторите тот же набор точек на втором периоде: при t = 0,625 с координата равна 0, при t = 0,75 с — −0,08 м, при t = 0,875 с — 0, а при t = 1 с — 0,08 м. Плавно соедините точки косинусоидой. На вертикальной оси отметьте крайние значения ±0,08 м, а расстояние по времени между соседними максимумами подпишите как T = 0,5 с.

Ответ: A = 0,08 м, T = 0,5 с; для двух периодов строят график на отрезке времени от 0 до 1 с.

По графику найти начальную фазу, уравнение движения и моменты прохождения равновесия

Условие: по графику координаты требуется определить начальную фазу, записать x(t) и найти моменты, когда тело проходит положение равновесия. Сначала считайте с графика координату при t = 0, амплитуду и период; по наклону кривой в начальный момент установите, увеличивается координата или уменьшается. Поскольку конкретные отсчёты графика не заданы, запишем решение для измеренных величин x₀, A и T.

1. Найдите циклическую частоту: ω = 2π/T. Для косинусной формы x(t) = A cos(ωt + φ₀) начальное значение даёт cos φ₀ = x₀/A. Это уравнение может иметь несколько решений, поэтому выберите то, которое согласуется с направлением движения на графике.

2. Проверьте выбранную фазу по начальному наклону: v(0) = −Aω sin φ₀. Если координата вблизи t = 0 убывает, скорость отрицательна; если растёт — положительна. Затем запишите уравнение x(t) = A cos(ωt + φ₀), подставив найденные A, ω и φ₀.

3. Для прохождения равновесия положите x(t) = 0. Тогда cos(ωt + φ₀) = 0, то есть ωt + φ₀ = π/2 + πk, где k — целое число. Получаем t = (π/2 − φ₀ + πk)/ω; оставьте только моменты, попадающие в рассматриваемый промежуток времени.

Ответ: начальную фазу выбирают по координате и направлению движения при t = 0; уравнение имеет вид x(t) = A cos(ωt + φ₀), а моменты равновесия находятся из указанной формулы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать период равным 1/ω. Так делают, забывая, что полный цикл функции синуса или косинуса соответствует изменению фазы на 2π, а не на единицу. Проверка проста: из ω = 2π/T нужно получить T = 2π/ω; подстановка этого значения даёт изменение фазы ωT = 2π.

Ошибка: принимать размах колебаний за амплитуду. Размах — расстояние от нижнего крайнего положения до верхнего, поэтому он равен 2A; путаница появляется, если смотреть только на общий вертикальный размах графика. Проверьте, что амплитуда измерена от положения равновесия до одного края, или разделите расстояние между краями на два.

Ошибка: сдвигать график из-за начальной фазы в неверную сторону. В аргументе ωt + φ₀ положительная фаза компенсируется более ранним временем, поэтому график сдвигается влево на φ₀/ω; ошибку вызывает привычка переносить знак из формулы без проверки. Для проверки найдите момент, когда аргумент равен нулю: t = −φ₀/ω.

Ошибка: считать графики координаты, скорости и ускорения совпадающими по фазе. Это неверно, потому что скорость и ускорение связаны с координатой производными, а дифференцирование синусоид меняет фазу и знак. Сверьте характерные точки: при крайней координате скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю и направлено к равновесию.

Связь с другими темами

Для чтения графиков нужно уметь строить синус и косинус, знать их периодичность и значения при аргументах 0, π/2, π и 2π. Эти знания позволяют быстро отмечать характерные точки и определять повторение графика. Также нужны понятия координаты, скорости, ускорения и производной: благодаря производной можно перейти от закона координаты к законам скорости и ускорения. Эти способы пригодятся при изучении колебательных систем, резонанса и звуковых волн.

Что запомнить

• Гармоническое колебание изображается синусоидой или косинусоидой.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Период графика координаты равен периоду колебаний.
• Частота и период связаны равенством ν = 1/T.
• Циклическая частота связана с периодом формулой ω = 2π/T.
• Скорость сдвинута по фазе относительно координаты на π/2, ускорение противоположно координате по фазе.