§ 1.4. Метод векторных диаграмм

Определения и обозначения

Векторная диаграмма — изображение колебаний векторами, которое позволяет наглядно складывать гармонические колебания одинаковой частоты. Она заменяет громоздкие преобразования уравнений геометрическим построением. По такой диаграмме можно увидеть, как фазы колебаний влияют на их сумму.

Вращающийся вектор — вектор длиной, равной амплитуде колебания, который равномерно вращается с угловой скоростью колебаний. Его длина обозначается A и не меняется, а направление со временем изменяется. Проекция этого вектора на выбранную ось соответствует смещению колеблющейся величины.

Фаза колебания — угол, определяющий состояние колебательной системы в данный момент; на диаграмме ей соответствует угол между вектором и выбранным направлением. Для уравнения x = A cos(ωt + φ₀) фаза равна ωt + φ₀. Она показывает, на каком этапе колебания находится система.

Результирующий вектор — векторная сумма векторов отдельных колебаний; его длина задаёт амплитуду, а направление — начальную фазу результирующего колебания. Поэтому после построения суммы можно сразу прочитать главные параметры общего колебания. Это особенно полезно, если исходные колебания имеют разные начальные фазы.

Как это устроено

Гармоническое колебание можно представить как проекцию конца вращающегося вектора на ось. Если длина вектора равна A, то его проекция изменяется в пределах от −A до A, как и смещение при колебании. При равномерном вращении угол вектора меняется пропорционально времени, поэтому его проекция меняется по косинусоидальному закону. Так вращение на плоскости превращается в знакомое движение туда и обратно вдоль оси.

Пусть уравнение колебания имеет вид x = A cos(ωt + φ₀). Угол вектора в момент времени t равен ωt + φ₀, поэтому за единицу времени он поворачивается на угол ω; это и означает, что угловая скорость вектора равна циклической частоте ω. При t = 0 угол становится равным φ₀, то есть начальному значению фазы. Поэтому колебания с одной частотой изображают векторами, вращающимися одинаково быстро, но начинающими движение с разных углов.

Чтобы сложить колебания одинаковой частоты, достаточно сложить их векторы в один и тот же момент. Векторы можно расположить по правилу параллелограмма или переносить последовательно так, чтобы начало следующего совпадало с концом предыдущего. Причина удобства в том, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций, а значит, даёт суммарное смещение колебаний. Если частоты одинаковы, относительное положение векторов при вращении сохраняется.

Получившийся результирующий вектор вращается с той же угловой скоростью, что и исходные. Его проекция поэтому также описывает гармоническое колебание той же частоты. Длина вектора задаёт амплитуду суммы, а его угол при t = 0 — начальную фазу. Например, длинный результирующий вектор означает большую амплитуду, а его направление показывает, с какого фазового состояния начинается итоговое движение.

Характер сложения можно предсказать по взаимному направлению векторов. Если фазы совпадают, векторы направлены одинаково, и длины складываются: результирующая амплитуда равна сумме амплитуд. При противофазе векторы направлены противоположно, поэтому меньший вектор компенсирует часть большего, а амплитуда равна модулю разности амплитуд. При других углах векторы складываются геометрически, так что итог находится между этими случаями.

Связь гармонического колебания с векторной диаграммой

В таблице сопоставлены величины в уравнении колебания и элементы диаграммы. При решении задачи сначала найдите амплитуду и начальную фазу каждого колебания, затем постройте соответствующие векторы. После сложения векторов прочитайте амплитуду и фазу результата.

Разбор задач

Колебание x = 3 cos(ωt + π/4)

Нужно представить колебание вектором и указать его длину и начальное направление. Сравним данное уравнение с общей формой x = A cos(ωt + φ₀). В этой записи амплитуда — множитель перед косинусом, а начальная фаза — постоянная часть аргумента.

1. Находим амплитуду: A = 3.
2. Определяем начальную фазу: φ₀ = π/4.
3. Изображаем вектор длиной 3, отложенный от выбранной оси под углом π/4.

Вектор равномерно вращается с угловой скоростью ω, а его проекция задаёт смещение. Ответ: длина вектора равна 3, начальный угол — π/4.

Сложение колебаний амплитудой 3 см и 4 см при разности фаз π/2

Разность фаз задаёт угол между векторами. При π/2 они перпендикулярны, поэтому их сумма образует прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Здесь не нужно складывать амплитуды как числа: длину результирующего вектора найдём по теореме Пифагора.

1. Строим два вектора длиной 3 см и 4 см под прямым углом.
2. Вычисляем длину суммы: Aрез = √(3² + 4²) = √25 = 5 см.
3. Проверяем, что результат больше каждой амплитуды, но меньше их суммы 7 см, что соответствует углу между векторами.

Ответ: амплитуда результирующего колебания равна 5 см.

Сложение x₁ = 5 cos(ωt) см и x₂ = 5 cos(ωt + 2π/3) см

Оба колебания имеют одинаковую частоту и амплитуду 5 см. Начальные углы их векторов равны 0 и 2π/3, поэтому векторы разделены углом 120°. Чтобы найти результат, удобно разложить их на горизонтальные и вертикальные составляющие.

1. Первый вектор имеет координаты (5; 0). Второй: (5 cos 2π/3; 5 sin 2π/3) = (−2,5; 5√3/2).
2. Складываем составляющие: получаем координаты результирующего вектора (2,5; 5√3/2).
3. Находим длину: Aрез = √(2,5² + (5√3/2)²) = √25 = 5 см.
4. Тангенс начального угла равен (5√3/2) / 2,5 = √3, а обе составляющие положительны, поэтому угол равен π/3.

Ответ: амплитуда — 5 см, начальная фаза — π/3.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что длина вращающегося вектора меняется. Так могут решить, потому что конец вектора движется, а длина проекции действительно меняется. Но движется именно конец, тогда как модуль вектора постоянен и равен амплитуде. Проверьте построение: от начала до конца вектора должно быть одно и то же расстояние во все моменты.

• Ошибка: перепутать угол между векторами с разностью фаз. Угол диаграммы иногда принимают за отдельную геометрическую величину, не связанную с уравнениями колебаний. Для одинаковых частот разность фаз как раз равна углу между соответствующими векторами. Проверка проста: сопоставьте начальные фазы в уравнениях и вычислите их разность.

• Ошибка: всегда складывать амплитуды арифметически. Это верно лишь при совпадении фаз, когда векторы направлены одинаково. При других углах их сумма имеет другую длину, а при противофазе происходит вычитание. Перед вычислением отметьте угол между векторами или постройте их сумму.

• Ошибка: считать, что диаграмма непосредственно задаёт смещение. Вектор показывает амплитуду и фазу, но смещение — не его длина, а проекция на выбранную ось. Путаница возникает, если смешать вращение вектора с движением вдоль оси колебаний. Проверьте, что для нахождения смещения берёте проекцию, а не модуль вектора.

Связь с другими темами

Для работы с диаграммами нужны уравнение гармонического колебания, понятия амплитуды, фазы, начальной фазы и циклической частоты. Они помогают перевести параметры уравнения в длину и направление вектора. Метод применяют, когда требуется складывать гармонические колебания и анализировать интерференцию: относительная фаза помогает понять, усиливают или ослабляют волны друг друга. В цепях переменного тока векторные диаграммы также наглядно показывают соотношение фаз между величинами, меняющимися с одной частотой.

Что запомнить

• Длина вращающегося вектора равна амплитуде колебания.
• Угол поворота вектора задаёт фазу колебания.
• Вектор вращается с угловой скоростью, равной циклической частоте.
• Складывать векторы удобно, когда колебания имеют одинаковую частоту.
• Длина суммы векторов задаёт амплитуду результирующего колебания.
• Направление результирующего вектора определяет начальную фазу суммы.