§ 36. Метод векторных диаграмм

Определения и обозначения

Векторная диаграмма — графическое представление гармонических величин в виде векторов, позволяющее сравнивать их амплитуды и фазы. На одной схеме сразу видно, какая величина больше и как колебания сдвинуты друг относительно друга. Это заменяет часть громоздких тригонометрических преобразований.

Вращающийся вектор — вектор постоянной длины, равной амплитуде колебания, который равномерно вращается с угловой скоростью колебаний. Его проекция на выбранную ось меняется со временем и воспроизводит гармоническое колебание. Поэтому движение стрелки удобно использовать как геометрическую модель синусоиды.

Фаза колебания — величина, определяющая состояние гармонического колебания в данный момент времени; на диаграмме она задаётся углом вектора. Фаза показывает, на какой стадии находится колебание: например, проходит ли оно через нуль или достигает максимума. Начальная фаза φ₀ — значение фазы при t = 0.

Фазовый сдвиг — разность фаз двух гармонических величин, показываемая углом между соответствующими векторами. Он позволяет установить, достигают ли величины одинаковых состояний одновременно. При сдвиге π колебания находятся в противофазе, а при π/2 — в квадратуре.

Как это устроено

Пусть вектор длины A равномерно вращается с угловой скоростью ω, а его начальный угол равен φ₀. В момент t его угол станет ωt + φ₀. Проекция на горизонтальную ось тогда равна x(t) = A cos(ωt + φ₀), то есть получается обычное гармоническое колебание.

Длина стрелки не меняется во время вращения, поэтому она задаёт амплитуду, а не текущее значение величины. Начальный угол определяет, с какого состояния начинается колебание. Направление вращения задаёт знак изменения фазы, а скорость вращения связана с частотой соотношением ω = 2πν.

Если две величины имеют одинаковую частоту, их векторы вращаются с одной и той же угловой скоростью. Оба вектора поворачиваются на одинаковый угол за одинаковое время, поэтому разность их углов остаётся постоянной. Благодаря этому фазовый сдвиг можно измерить один раз непосредственно на диаграмме.

Чтобы определить опережение, задают общее направление вращения и смотрят, какой вектор расположен дальше по ходу этого вращения. Если φ₂ − φ₁ > 0, вторая величина опережает первую по фазе; при отрицательной разности она отстаёт. Такая запись требует единого правила отсчёта углов для всей схемы.

Сумму колебаний одинаковой частоты можно представить суммой их вращающихся векторов. Проекция геометрической суммы равна сумме проекций исходных векторов, поэтому сложение стрелок полностью заменяет сложение синусов и косинусов. Длина результирующего вектора даёт амплитуду, а его направление — фазу результирующего колебания.

Элементы и правила построения векторной диаграммы

Сначала выберите масштаб и общую ось отсчёта фаз, затем отложите векторы нужной длины под соответствующими углами. Для суммы соедините векторы последовательно или постройте параллелограмм. После этого измерьте длину и угол результирующей стрелки.

При работе с переменным током вместо амплитуд можно откладывать действующие значения, но смешивать эти два типа величин нельзя. Все стрелки на одной диаграмме должны быть выполнены в одном масштабе. Направление фазового отсчёта также должно оставаться единым.

Разбор задач

Задача 1

Условие: построить диаграмму для колебания x = 4 cos(ωt + π/3) и указать длину вектора и его начальный угол.

1. Сравниваем уравнение с видом x(t) = A cos(ωt + φ₀). Получаем A = 4 и φ₀ = π/3.
2. Из общего начала откладываем стрелку длиной 4 под углом π/3 к выбранной положительной оси.
3. При увеличении времени стрелка вращается с угловой скоростью ω, а её проекция даёт заданное колебание.

Ответ: длина вектора равна 4, начальный угол — π/3.

Задача 2

Условие: найти амплитуду и фазу суммы x₁ = 3 cos(ωt) и x₂ = 4 cos(ωt + π/2).

1. Первый вектор имеет длину 3 и угол 0, второй — длину 4 и угол π/2. Поэтому стрелки взаимно перпендикулярны.
2. Строим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Длина результирующего вектора равна Aрез = √(3² + 4²) = 5.
3. Для результирующего вектора tan φрез = 4/3, поэтому φрез = arctan(4/3) ≈ 0,93 рад.

Ответ: сумма имеет амплитуду 5 и начальную фазу φрез = arctan(4/3).

Задача 3

Условие: в последовательной цепи напряжения на резисторе и катушке имеют действующие значения U₁ и U₂ и сдвинуты по фазе на π/2. Найти действующее значение общего напряжения.

1. Изображаем напряжения векторами длиной U₁ и U₂. Угол между ними равен π/2, поэтому векторы перпендикулярны.
2. Суммарное напряжение является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора Uрез² = U₁² + U₂².
3. Извлекаем корень: Uрез = √(U₁² + U₂²). Такой результат не равен простой сумме, поскольку напряжения имеют разные фазы.

Ответ: действующее значение общего напряжения равно √(U₁² + U₂²).

Типичные ошибки

Складывают амплитуды как обычные числа. Так можно поступить только при совпадении фаз и одинаковом направлении векторов. Проверьте угол между стрелками: при ненулевом сдвиге используйте геометрическое сложение.

Путают начальную фазу с фазовым сдвигом. Начальная фаза относится к одному колебанию в момент t = 0, а сдвиг сравнивает две величины. Для проверки подпишите обе фазы и вычислите их разность.

Откладывают длины, пропорциональные мгновенным значениям. Из-за этого стрелки начинают изменять длину, хотя вращающийся вектор должен быть постоянным. Сверьте масштаб с амплитудой или действующим значением, а мгновенное значение ищите по проекции.

Неверно выбирают знак угла и направление опережения. Причина ошибки — смешение разных правил отсчёта фаз. Перед построением задайте направление вращения и проверяйте знак по формуле Δφ = φ₂ − φ₁.

Связь с другими темами

Для метода нужны уравнение гармонического колебания, амплитуда, частота, фаза и начальная фаза. Без этих понятий трудно правильно сопоставить формулу и параметры вектора. Особенно важно различать фазу одного колебания и разность фаз.

Геометрическое построение опирается на сложение векторов и разложение их на координатные составляющие. Тригонометрические формулы объясняют, почему сумма синусов и косинусов той же частоты снова является гармоническим колебанием. Диаграмма делает эти преобразования наглядными.

Далее метод используется при анализе цепей переменного тока, где складывают напряжения и токи с разными фазами. Он также помогает исследовать сложение колебаний и волн. В каждом случае длина и направление итогового вектора имеют физический смысл.

Что запомнить

• Гармоническое колебание можно представить проекцией равномерно вращающегося вектора.
• Длина вектора равна амплитуде изображаемого колебания.
• Угол вектора задаёт фазу колебания.
• Угол между векторами равен фазовому сдвигу.
• Величины одинаковой частоты изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью.
• Сложение гармонических величин одинаковой частоты заменяется сложением соответствующих векторов.
• Длина и направление результирующего вектора определяют амплитуду и фазу суммы.