§ 35. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Затухающие колебания — колебания, амплитуда которых со временем уменьшается из-за потерь энергии. Причиной обычно служат силы сопротивления: они действуют против движения и отнимают у системы механическую энергию. Это понятие нужно, чтобы описывать реальные колебания, которые не продолжаются бесконечно.

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. Частоту этой силы называют частотой воздействия. Понятие помогает отличить движение, которое поддерживают извне, от свободного движения системы после начального толчка.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к собственной частоте системы. Собственная частота — частота свободных колебаний системы. Понимание резонанса позволяет предсказывать, при каких условиях даже небольшая периодическая сила может вызвать заметное движение.

Добротность — характеристика колебательной системы, показывающая, насколько медленно затухают свободные колебания и насколько выражен резонанс. Чем выше добротность, тем меньше потери энергии и тем заметнее резонансный максимум. Эта величина нужна, чтобы сравнивать системы по их способности сохранять колебания.

Как это устроено

Когда тело движется в воздухе или детали трутся друг о друга, силы сопротивления направлены против движения. Работа этих сил уменьшает механическую энергию колебательной системы: она переходит преимущественно во внутреннюю энергию тела и среды. Поэтому очередные отклонения от положения равновесия становятся меньше. На графике смещения видны колебания вокруг нуля, но их верхние и нижние пики постепенно приближаются к нулю.

Скорость затухания связана с тем, сколько энергии система теряет за время колебаний. При слабом сопротивлении за один период теряется мало энергии, поэтому амплитуда уменьшается медленно и движение сохраняется дольше. При сильном сопротивлении потери больше, а пики на графике быстро становятся ниже. Значит, сравнивать затухание можно по тому, как быстро уменьшается амплитуда.

Внешняя периодическая сила регулярно совершает работу над системой и передаёт ей энергию. Если подвод энергии компенсирует потери на сопротивление, после переходного процесса устанавливаются колебания примерно постоянной амплитуды. В этом режиме система повторяет ритм силы: частота колебаний равна частоте воздействия, а не обязательно собственной частоте. Поэтому, меняя частоту силы, можно менять частоту установившегося движения.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты, с которой действует сила. Вблизи собственной частоты система успевает откликаться на очередное воздействие согласованно с предыдущими, поэтому энергия передаётся особенно эффективно. В результате амплитуда возрастает и достигает максимума в области резонанса. Если частота воздействия далека от собственной, отдельные толчки не так эффективно усиливают движение.

В резонансе амплитуда не становится бесконечной, потому что поступающая энергия не может накапливаться без ограничений: часть её постоянно рассеивается из-за сопротивления. Чем слабее затухание, тем меньше потери и тем выше резонансный максимум. При сильном затухании максимум ниже и шире, то есть заметное усиление проявляется в более широком диапазоне частот. Добротность характеризует, насколько слабо затухают свободные колебания и насколько выражен резонанс.

Сравнение свободных затухающих и вынужденных колебаний

Сначала определите, есть ли у системы внешняя периодическая сила: это помогает различить свободные и вынужденные колебания. Затем сравните частоту воздействия с собственной частотой и учтите сопротивление. Таблица показывает, что именно сопротивление приводит к затуханию свободного движения и ограничивает амплитуду вынужденного.

Разбор задач

Задача 1

Маятник после отклонения отпустили; перечислите, как будут меняться его амплитуда и механическая энергия при наличии сопротивления воздуха. Нужно связать изменение движения с работой силы сопротивления. Внешняя периодическая сила маятник не поддерживает.

1. После отпускания маятник начинает свободно колебаться около положения равновесия.
2. Сила сопротивления воздуха направлена против скорости и совершает отрицательную работу, поэтому механическая энергия маятника уменьшается.
3. Из-за уменьшения энергии максимальное отклонение в каждом следующем цикле становится меньше: амплитуда постепенно убывает.

Ответ: механическая энергия маятника уменьшается, переходя главным образом во внутреннюю энергию воздуха и маятника; амплитуда колебаний постепенно сокращается.

Задача 2

На пружинный маятник действует периодическая сила с частотой, отличной от собственной частоты маятника. Определите частоту установившихся вынужденных колебаний. Здесь нужно отделить свойство источника воздействия от свойства самой системы. Частота силы задана, хотя она не совпадает с собственной частотой маятника.

1. Найдите, что поддерживает движение после переходного процесса: это периодическая внешняя сила.
2. В установившемся режиме маятник следует ритму этой силы, поэтому частота его вынужденных колебаний равна частоте воздействия.
3. Собственная частота маятника влияет на амплитуду отклика и близость к резонансу, но не определяет установившуюся частоту.

Ответ: установившиеся колебания происходят с частотой внешней периодической силы.

Задача 3

Сравните амплитуды установившихся колебаний двух одинаковых систем при плавном изменении частоты внешней силы; одна система имеет большее сопротивление. Определите, где резонанс выражен сильнее. Одинаковость систем означает, что их собственные частоты совпадают, а различается затухание.

1. При изменении частоты амплитуда каждой системы меняется, а около собственной частоты возникает резонансный максимум.
2. В системе с большим сопротивлением потери энергии выше, поэтому максимум амплитуды ниже.
3. У системы со слабым сопротивлением резонансный максимум выше и уже; у системы с сильным сопротивлением он ниже и шире.

Ответ: резонанс сильнее выражен в системе с меньшим сопротивлением: её амплитуда вблизи собственной частоты больше, а максимум острее.

Типичные ошибки

Считать, что при затухании период обязательно уменьшается, — значит смешивать изменение амплитуды с изменением временного масштаба колебаний. Эту ошибку допускают, потому что и период, и амплитуда описывают повторяющееся движение. Сопротивление прежде всего вызывает потери энергии и уменьшение амплитуды; период не обязан заметно изменяться. Проверьте себя: сравните пики колебаний отдельно от времени между соседними пиками.

Приписывать вынужденным колебаниям собственную частоту системы неверно, потому что в установившемся режиме движение задаёт внешний источник. Путаница возникает из-за того, что собственная частота особенно важна около резонанса. Различайте два вопроса: частота колебаний равна частоте воздействия, а собственная частота влияет на амплитуду отклика. Проверьте ответ, назвав, какая сила поддерживает движение.

Считать амплитуду при резонансе бесконечной — ошибка: реальные системы теряют энергию из-за сопротивления. Её допускают, если мысленно представить, что внешняя сила бесконечно долго добавляет энергию, но забыть о её рассеянии. В установившемся режиме приток энергии уравновешивается потерями, поэтому амплитуда конечна. Проверьте себя: учтите в рассуждении сопротивление и потери энергии.

Путать резонанс с любым увеличением амплитуды — значит не учитывать условие о частотах. Амплитуда может меняться и по другим причинам, например при изменении силы или начального отклонения. Резонанс связан с вынужденными колебаниями и близостью частоты воздействия к собственной частоте системы. Проверьте себя: сравните именно эти частоты и убедитесь, что речь идёт о вынужденном движении.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о свободных гармонических колебаниях: амплитуде, периоде и частоте. Также важно представлять, что такое собственная частота пружинного или математического маятника. Эти понятия позволяют отличить частоту системы от частоты внешнего воздействия и определить условия резонанса.

Идеи темы применяются при изучении колебательных цепей переменного тока и звуковых явлений. Резонанс учитывают и в технических системах: он может усиливать полезные колебания, но иногда создаёт опасную нагрузку. Поэтому при проектировании устройств важно оценивать сопротивление и возможные частоты воздействия.

Что запомнить

• Затухающие колебания теряют энергию, поэтому их амплитуда со временем уменьшается.
• Вынужденные колебания поддерживаются периодической внешней силой.
• В установившемся режиме частота вынужденных колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты воздействия.
• Резонанс возникает, когда частота внешней силы близка к собственной частоте системы.
• Уменьшение затухания делает резонанс более выраженным.