§ 33. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Затухающие колебания — колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается из-за потерь энергии. Например, маятник после отклонения с каждым разом отклоняется от положения равновесия всё меньше. Это понятие нужно, чтобы описывать реальные системы, где трение и сопротивление не позволяют движению продолжаться бесконечно.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием периодической внешней силы. Такая сила повторяет своё действие через равные промежутки времени и передаёт системе энергию. Термин помогает отличить поддерживаемое движение от свободных колебаний, которые начинаются после однократного воздействия.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение тела от положения равновесия. Понятие резонанса позволяет определить случаи, когда небольшая внешняя сила может вызвать очень заметные колебания.

Собственная частота — частота свободных колебаний системы, определяемая её свойствами. Она зависит, например, от длины маятника, массы груза или жёсткости пружины. Обозначим её ν₀, а частоту внешней силы — ν; именно их сравнение помогает обнаружить резонанс.

Как это устроено

Сопротивление воздуха, трение в осях и другие силы направлены против движения. Из-за этого часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел и окружающей среды. Энергии для подъёма или разгона остаётся меньше, поэтому максимальное отклонение, то есть амплитуда, постепенно уменьшается.

Периодическая внешняя сила действует на систему снова и снова, поэтому за каждый цикл может передавать ей новую порцию энергии. Если переданная энергия компенсирует потери, движение не затухает, а поддерживается. Так возникают вынужденные колебания, например движение качелей, которые регулярно подталкивают.

Сразу после начала действия внешней силы система ещё сохраняет особенности своего прежнего движения. Этот промежуток называют переходным процессом: в нём могут одновременно проявляться собственные и вынужденные колебания. Со временем собственная составляющая ослабевает из-за потерь, и остаются установившиеся колебания с частотой внешней силы.

Если частота внешней силы близка к собственной частоте системы, сила подталкивает тело в наиболее подходящие моменты. Энергия тогда передаётся особенно эффективно, а за каждый период поступает больше энергии, чем при заметном несовпадении частот. Поэтому амплитуда возрастает — наблюдается резонанс.

Сопротивление препятствует накоплению энергии и ограничивает рост амплитуды. При большом сопротивлении резонансный максимум становится ниже, зато заметное увеличение амплитуды наблюдается в более широком диапазоне частот. При малом сопротивлении максимум выше и уже, поэтому настройка на собственную частоту должна быть точнее.

Сравнение затухающих, вынужденных колебаний и резонанса

Сначала определите, откуда система получает энергию и меняется ли амплитуда со временем. Затем сравните частоту внешнего воздействия с собственной частотой. Если амплитуда особенно велика именно при их близости, речь идёт о резонансе.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Маятник после отклонения колеблется всё слабее. Нужно определить вид колебаний и объяснить уменьшение амплитуды. Дополнительной периодической силы, которая постоянно подталкивает маятник, нет.

1. Маятник получил энергию при отклонении, а затем был отпущен.
2. После отпускания на него действуют силы сопротивления воздуха и трения в подвесе.
3. Эти силы отнимают часть механической энергии в каждом цикле, поэтому максимальные отклонения уменьшаются.

Ответ. Наблюдаются затухающие колебания. Амплитуда уменьшается из-за потерь механической энергии на сопротивление воздуха и трение. Колебания продолжаются некоторое время, но без внешней подпитки постепенно ослабевают.

Задача 2

Условие. Собственная частота системы равна 2 Гц, а внешняя сила действует с частотами 0,5 Гц, 2 Гц и 5 Гц. Нужно выбрать частоту, при которой амплитуда будет наибольшей.

1. Запишем собственную частоту: ν₀ = 2 Гц.
2. Сравним варианты с ν₀: расстояния равны 1,5 Гц для 0,5 Гц, 0 для 2 Гц и 3 Гц для 5 Гц.
3. При совпадении частот энергия передаётся наиболее эффективно, поэтому возникает резонанс.

Ответ. Наибольшую амплитуду следует ожидать при частоте внешней силы 2 Гц. В этом случае частота воздействия совпадает с собственной частотой системы. Реальная амплитуда будет ограничена сопротивлением и потерями энергии.

Задача 3

Условие. Два одинаковых маятника приводят в движение с одной и той же частотой. У одного сопротивление воздуха мало, у другого велико; сравним их амплитуды вблизи резонанса.

1. Оба маятника имеют одинаковую собственную частоту и испытывают одинаковое внешнее воздействие.
2. У маятника с малым сопротивлением потери энергии меньше, поэтому за период легче накопить энергию.
3. У маятника с большим сопротивлением энергия быстрее рассеивается, поэтому амплитуда ограничивается сильнее.

Ответ. Вблизи резонанса большая амплитуда будет у маятника с малым сопротивлением. У маятника с большим сопротивлением максимум ниже. Кроме того, его резонансная область шире, то есть заметные колебания сохраняются при большем диапазоне частот.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при затухании частота обязательно уменьшается вместе с амплитудой. Так думают, потому что оба свойства описывают движение, но затухание прежде всего означает потерю амплитуды. Проверка проста: отдельно сравните максимальные отклонения и промежутки времени между соседними одинаковыми фазами.

Ошибка: путать вынужденные колебания со свободными. Причина путаницы в том, что оба вида движения могут выглядеть одинаково. Проверьте, действует ли периодическая внешняя сила: если она постоянно передаёт энергию, колебания являются вынужденными.

Ошибка: считать любую большую амплитуду резонансом. Большая амплитуда может быть результатом сильного воздействия или большого начального отклонения. Для резонанса нужно установить, что амплитуда особенно возрастает при приближении частоты внешней силы к собственной.

Ошибка: утверждать, что при резонансе амплитуда не ограничена. В реальной системе всегда есть сопротивление и потери энергии, поэтому рост прекращается. Если расчёт даёт бесконечную амплитуду, нужно проверить, не была ли забыта сила сопротивления.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны амплитуда, период, частота, собственные колебания и превращение энергии. Частота и период связаны формулой ν = 1/T, поэтому сравнивать колебания можно разными способами.

Резонанс встречается в музыкальных инструментах и радиоприёмниках, где помогает усиливать нужные колебания. Он также объясняет вибрации машин и необходимость защищать сооружения от опасных совпадений частот.

Тема связана с механической энергией и силой сопротивления. График зависимости амплитуды от частоты показывает резонансный максимум и позволяет увидеть, как сопротивление меняет его высоту и ширину.

Что запомнить

• Затухающие колебания имеют амплитуду, постепенно уменьшающуюся со временем.
• Причина затухания — потери механической энергии.
• Вынужденные колебания поддерживаются периодическим внешним воздействием.
• Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы.
• Резонанс возникает при близости частоты внешней силы к собственной частоте системы.
• Увеличение сопротивления уменьшает резонансную амплитуду.
• Резонанс может быть полезным или опасным в зависимости от ситуации.