§ 2.6. Резонанс напряжений в электрической цепи

Определения и обозначения

Последовательная колебательная цепь — цепь, в которой резистор, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно. Через все элементы проходит один и тот же ток, потому что у последовательного соединения нет разветвлений. Это позволяет описывать режим цепи, зная ток и сопротивление каждого элемента.

Резонанс напряжений — режим последовательной цепи переменного тока, при котором напряжения на катушке и конденсаторе равны по модулю и противоположны по фазе. Фаза показывает, как меняется величина во времени относительно другой. Это понятие объясняет, почему большие напряжения на элементах могут взаимно компенсироваться.

Резонансная частота — частота, при которой индуктивное сопротивление X_L равно ёмкостному сопротивлению X_C. Условие имеет вид ω₀L = 1/(ω₀C), поэтому ω₀ = 1/√(LC), а f₀ = 1/(2π√(LC)). По этой формуле можно заранее определить частоту настройки цепи.

Добротность цепи характеризует, во сколько раз напряжение на катушке или конденсаторе при резонансе может быть больше напряжения источника. Для последовательной цепи Q = ω₀L/R = 1/(ω₀CR), где R — активное сопротивление. Чем меньше потери, то есть чем меньше R, тем выше добротность и сильнее возможное превышение напряжения.

Как это устроено

В последовательной RLC-цепи один и тот же переменный ток проходит через резистор, катушку и конденсатор. На резисторе напряжение совпадает по фазе с током, на катушке опережает его на четверть периода, а на конденсаторе отстаёт на четверть периода. Поэтому напряжения элементов нельзя просто складывать как обычные числа: нужно учитывать их фазы.

Сопротивление катушки переменному току называется индуктивным: X_L = ωL, где ω — циклическая частота. При увеличении частоты ток быстрее меняется, и катушка сильнее препятствует этому изменению, поэтому X_L растёт. Ёмкостное сопротивление X_C = 1/(ωC), напротив, уменьшается: конденсатору легче пропускать ток высокой частоты.

Так как X_L возрастает, а X_C убывает с частотой, существует частота, на которой они становятся равными. Приравняем выражения: ωL = 1/(ωC), откуда ω² = 1/(LC) и ω₀ = 1/√(LC). Поскольку ω = 2πf, обычная резонансная частота равна f₀ = 1/(2π√(LC)); формула показывает, что она зависит от L и C.

При резонансе напряжения на катушке и конденсаторе противоположны по фазе и равны по модулю: U_L = IX_L, U_C = IX_C. Их векторная сумма равна нулю, поэтому для источника остаётся только активное сопротивление R. Полное сопротивление Z = √(R² + (X_L − X_C)²) при равенстве X_L и X_C минимально и равно R.

При неизменном напряжении источника закон Ома даёт I = U/Z, поэтому минимальное сопротивление означает максимальный ток. Ток одновременно создаёт значительные напряжения на катушке и конденсаторе, ведь каждое равно произведению тока на сопротивление соответствующего элемента. При резонансе отношение U_L/U и U_C/U равно добротности Q; потери в реальной цепи ограничивают рост тока и напряжений.

Последовательная RLC-цепь при изменении частоты

Чтобы определить режим цепи, сравни X_L и X_C при заданной частоте. Знак разности X_L − X_C подскажет, какая составляющая преобладает, а близость к нулю — насколько цепь близка к резонансу. Таблица также показывает, почему максимальный ток приходится именно на резонансную частоту.

Разбор задач

1. Найти резонансную частоту

Условие: катушка имеет индуктивность L = 0,20 Гн, конденсатор — ёмкость C = 50 мкФ. Найдём частоту, при которой возникает резонанс. Здесь достаточно знать L и C: активное сопротивление влияет на величину тока, но не входит в формулу резонансной частоты.

1. Переведём ёмкость в СИ: 50 мкФ = 50 · 10⁻⁶ Ф = 5 · 10⁻⁵ Ф.
2. Используем формулу f₀ = 1/(2π√(LC)). Произведение LC = 0,20 · 5 · 10⁻⁵ = 10⁻⁵, поэтому √(LC) ≈ 0,00316.
3. Подставим значения: f₀ ≈ 1/(2π · 0,00316) ≈ 50,3 Гц. Проверка единиц показывает, что результат выражен в герцах.

Ответ: резонансная частота приблизительно равна 50 Гц.

2. Проверить резонанс и найти ток

Условие: последовательная цепь имеет R = 20 Ом, L = 0,10 Гн и C = 100 мкФ. Она подключена к источнику напряжением U = 12 В с частотой f = 50 Гц. Проверим, является ли режим резонансным, и найдём ток, если резонанс наступил. Сравнение сопротивлений надёжнее, чем вывод только по частоте, округлённой до целого числа.

1. Переведём C: 100 мкФ = 1 · 10⁻⁴ Ф. Вычислим ω = 2πf ≈ 314 рад/с.
2. Найдём X_L = ωL ≈ 314 · 0,10 = 31,4 Ом и X_C = 1/(ωC) ≈ 1/(314 · 10⁻⁴) ≈ 31,8 Ом.
3. Сопротивления близки, значит, частота близка к резонансной. Точное резонансное значение равно f₀ = 1/(2π√(LC)) ≈ 50,3 Гц; при нём Z = R и I = U/R.
4. Подставим: I = 12/20 = 0,60 А. При заданных 50 Гц режим очень близок к резонансному, а в идеальном резонансе ток равен 0,60 А.

Ответ: цепь близка к резонансу; резонансный ток равен 0,60 А.

3. Найти напряжения и добротность

Условие: U = 12 В, R = 10 Ом, L = 0,20 Гн, C = 50 мкФ; цепь работает при резонансе. Найдём напряжения на катушке и конденсаторе и оценим их превышение над напряжением источника. Для катушки и конденсатора сначала нужно найти ток, поскольку через оба элемента проходит один и тот же ток.

1. При резонансе Z = R, поэтому I = U/R = 12/10 = 1,2 А. Переведём C в СИ: 50 мкФ = 5 · 10⁻⁵ Ф.
2. Вычислим ω₀ = 1/√(LC) ≈ 316 рад/с. Тогда X_L = ω₀L ≈ 63,2 Ом, а X_C = 1/(ω₀C) ≈ 63,2 Ом.
3. Напряжения на элементах: U_L = IX_L ≈ 1,2 · 63,2 = 75,8 В и U_C ≈ 75,8 В. Добротность Q = ω₀L/R ≈ 316 · 0,20/10 ≈ 6,32.
4. Проверим результат: Q ≈ U_L/U ≈ 75,8/12 ≈ 6,32. Напряжения нельзя складывать арифметически: их фазовые сдвиги противоположны, поэтому при резонансе они компенсируются.

Ответ: U_L ≈ U_C ≈ 75,8 В; каждое примерно в 6,3 раза больше напряжения источника, Q ≈ 6,3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что резонанс наступает просто тогда, когда напряжения на катушке и конденсаторе равны. Такое равенство по модулю является следствием условия X_L = X_C, а не самостоятельной проверкой причины резонанса. Чтобы проверить себя, сравни сопротивления, рассчитанные для одной и той же частоты.

Ошибка: искать резонанс там, где одно из реактивных сопротивлений равно активному R. Эти величины отвечают за разные свойства цепи, поэтому их равенство не задаёт резонанс. Проверка простая: в условии резонанса должны совпасть X_L и X_C.

Ошибка: считать, что напряжения катушки и конденсатора совпадают по фазе, и складывать их как скаляры. Напряжение на катушке опережает ток, а на конденсаторе отстаёт, поэтому при резонансе они противоположны по фазе. Проверь себя по векторной диаграмме: их сумма равна нулю, а не удвоенному напряжению.

Ошибка: полагать, что напряжение на элементе не может превысить напряжение источника. На резонансе напряжение на катушке и конденсаторе может быть значительно больше из-за большого тока и реактивных сопротивлений. Отношение этих напряжений к напряжению источника сопоставь с добротностью; потери цепи не позволяют росту быть бесконечным.

Связь с другими темами

Для разбора резонанса нужны закон Ома для переменного тока, активное сопротивление R и реактивные сопротивления X_L и X_C. Не менее важны фазовые соотношения: без них нельзя объяснить, почему напряжения катушки и конденсатора компенсируются. Эти знания связывают расчёт цепи с темой электромагнитных колебаний и резонанса.

Резонансное свойство используют, когда нужно выделить определённую частоту или настроить электрическую цепь. Понимание резонанса напряжений помогает разбираться в работе колебательных контуров. При этом высокая добротность означает не только эффективную настройку, но и возможность больших напряжений на отдельных элементах.

Что запомнить

• В последовательной RLC-цепи через все элементы проходит один и тот же ток.
• Условие резонанса напряжений: X_L = X_C.
• Резонансная частота определяется индуктивностью и ёмкостью: f₀ = 1/(2π√(LC)).
• При резонансе полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению R.
• Ток при резонансе достигает максимума.
• Напряжения на катушке и конденсаторе равны по модулю и противоположны по фазе.
• Добротность показывает, во сколько раз каждое из этих напряжений может превысить напряжение источника.