§ 3.4. Энергия электромагнитных волн

Определения и обозначения

Энергия электромагнитной волны — энергия электрического и магнитного полей, распространяющаяся в пространстве вместе с волной. Она показывает, что волна может передавать энергию удалённым объектам. Например, излучение нагревает вещество, на которое попадает.

Плотность энергии электрического поля — энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объёма. В вакууме она равна w_E = ε₀E²/2, где E — напряжённость поля, а ε₀ — электрическая постоянная. Эта величина позволяет определить, сколько энергии электрическое поле содержит в выбранном объёме.

Плотность энергии магнитного поля — энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу объёма. В вакууме w_B = B²/(2μ₀), где B — магнитная индукция, а μ₀ — магнитная постоянная. Формула нужна, чтобы отдельно учесть вклад магнитного поля в энергию волны.

Интенсивность электромагнитной волны — энергия, переносимая за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению распространения волны. Её обозначают I; если за время t через площадь S прошла энергия W, то I = W/(St). По интенсивности можно сравнивать потоки энергии разных волн.

Как это устроено

Электромагнитная волна переносит энергию, потому что электрическое и магнитное поля в ней изменяются и распространяются от источника. Поля обладают собственной энергией, а не просто описывают действие волны на заряды и магниты. Когда возмущение достигает некоторой области пространства, вместе с полями туда приходит и энергия. Так излучение способно передавать энергию без переноса вещества от источника к приёмнику.

В каждом небольшом объёме волны присутствуют оба поля, и каждое вносит вклад в запас энергии. Поэтому общая плотность энергии получается сложением отдельных плотностей: w = w_E + w_B. Такой подсчёт нужен потому, что использование только одной составляющей не учитывает весь запас энергии волны. Для вакуума формулы этих вкладов имеют вид w_E = ε₀E²/2 и w_B = B²/(2μ₀).

В вакуумной электромагнитной волне изменения полей связаны: E = cB, где c — скорость света. Эта связь означает, что электрическое и магнитное поля не меняются независимо друг от друга. Если подставить E = cB в формулы плотностей энергии и учесть связь постоянных ε₀μ₀c² = 1, получим w_E = w_B. Значит, полная плотность равна удвоенной плотности любого из полей: w = ε₀E² = B²/μ₀.

Интенсивность связывает энергию, проходящую через площадку, с площадью и временем: I = W/(St). Из определения следует W = ISt: при неизменных I и t увеличение S пропорционально увеличивает собранную энергию. Для гармонической волны поле колеблется, поэтому интенсивность обычно выражают через среднее значение за время; в вакууме I = ε₀cE₀²/2. По мере удаления от источника энергия распределяется по всё большей площади, поэтому интенсивность ослабевает.

Энергия электрического и магнитного полей электромагнитной волны

Сначала выбери нужный столбец: отдельные вклады полей или полную энергию волны. Для полного результата сложи плотности энергии электрического и магнитного полей, а для вакуумной волны используй их равенство. Следи, чтобы в формулах для электрического и магнитного полей подставлялись соответствующие E и B.

Разбор задач

Задача 1. В вакууме напряжённость электрического поля волны равна E. Найдите плотность энергии электрического поля. Здесь требуется только электрический вклад, поэтому формулу для полной плотности энергии применять не нужно. Численное значение E не задано, и ответ следует записать через E и ε₀.

1. Записываем формулу плотности энергии электрического поля: w_E = ε₀E²/2.
2. Напряжённость уже обозначена в условии через E, поэтому подстановка не меняет выражение. Возводим E в квадрат и умножаем на ε₀, после чего делим на 2.
3. Проверяем единицы: ε₀E² имеет размерность энергии на объём, то есть Дж/м³. Это подтверждает, что получена именно плотность энергии.

Ответ: w_E = ε₀E²/2.

Задача 2. Амплитуда напряжённости электрического поля гармонической волны в вакууме равна E₀. Найдите среднюю интенсивность. Ищем среднюю величину потока энергии, а не мгновенное значение в отдельный момент колебания. Поэтому подходит формула для гармонической волны с амплитудой поля.

1. Записываем формулу средней интенсивности: I = ε₀cE₀²/2, где c — скорость света в вакууме.
2. Подставляем заданную амплитуду именно как E₀. Если заданы численные данные, возводим амплитуду в квадрат, умножаем на ε₀ и c, затем делим на 2.
3. Проверяем, что результат выражен в ваттах на квадратный метр. Поскольку поле входит в квадрате, удвоение амплитуды увеличило бы интенсивность в четыре раза.

Ответ: I = ε₀cE₀²/2.

Задача 3. Волна интенсивностью I падает перпендикулярно на площадку площадью S в течение времени t. Найдите перенесённую энергию W. Интенсивность уже учитывает поток через единицу площади и за единицу времени. Чтобы получить полную энергию для заданных площадки и времени, нужно учесть оба размера.

1. Начинаем с определения интенсивности: I = W/(St).
2. Умножаем обе части равенства на St, чтобы выразить искомую энергию. Получаем W = ISt.
3. Если данные численные, подставляем их в согласованных единицах: интенсивность — в Вт/м², площадь — в м², время — в секундах. Тогда энергия получится в джоулях.

Ответ: W = ISt.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что энергия волны связана только с электрическим полем. Так думают, потому что в некоторых формулах интенсивности явно указана напряжённость E, но магнитное поле тоже имеет энергию. Проверка: запиши w = w_E + w_B и убедись, что оба вклада учтены.

Вторая ошибка — забывать сложить плотности энергии электрического и магнитного полей. Подстановка только w_E или только w_B даёт вклад одного поля, а не полную плотность. Причина обычно в том, что в вакуумной волне w_E = w_B и кажется, будто достаточно одного слагаемого. Проверь, указана ли в вопросе полная плотность; если да, сложи вклады или используй w = ε₀E² = B²/μ₀.

Третья ошибка — подставлять мгновенное значение поля вместо амплитуды в формулу средней интенсивности I = ε₀cE₀²/2. Формула выведена для гармонической волны и использует максимальное значение напряжённости E₀, а не значение в произвольный момент. Это легко перепутать, если не различать обозначения E и E₀. Перед расчётом проверь, что в условии дана именно амплитуда.

Четвёртая ошибка — путать интенсивность с полной энергией. Интенсивность относится к единице площади и времени, поэтому сама по себе не сообщает, сколько энергии прошло через конкретную площадку за всё время наблюдения. Чтобы найти W, умножь I на площадь S и длительность t: W = ISt. Проверка единиц тоже помогает: Вт/м² × м² × с = Дж.

Связь с другими темами

Для изучения переноса энергии нужны знания об электрическом и магнитном полях, напряжённости E и магнитной индукции B. Формулы плотностей w_E = ε₀E²/2 и w_B = B²/(2μ₀) опираются на представление об энергии этих полей. Поэтому тему удобно связывать с ранее изученными свойствами полей и их взаимодействием с зарядами.

Перенос энергии волной связан с законом сохранения энергии: излучение уносит энергию от источника и может передать её приёмнику. Интенсивность показывает, как распределён этот поток по площади. Такие идеи применяются при изучении излучения, радиосвязи и взаимодействия электромагнитных волн с веществом.

Что запомнить

• Электромагнитная волна переносит энергию.
• Полная плотность энергии равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей.
• В вакуумной электромагнитной волне w_E = w_B.
• Интенсивность равна энергии, проходящей через единицу площади за единицу времени.
• Для площадки S и времени t перенесённая энергия равна W = ISt.
• Средняя интенсивность гармонической волны в вакууме пропорциональна квадрату амплитуды поля.