"Физика", Б.Кронгарт, Ш.Насохова, С.Туякбаев, В.Кем, В.Загайнова
Нагретые тела испускают электромагнитные волны, а характер их излучения зависит от температуры. Чтобы описывать эту зависимость, используют модель абсолютно чёрного тела — идеального поглотителя излучения. Закон Стефана — Больцмана связывает температуру с полной энергией, излучаемой поверхностью, а закон смещения Вина показывает, как меняется длина волны максимума спектра. С их помощью оценивают температуру, например, поверхности звёзд.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тепловое излучение — электромагнитное излучение тела, связанное с его температурой. Оно возникает потому, что частицы нагретого вещества движутся и взаимодействуют, а энергия их движения может испускаться в виде волн. Поэтому тепловое излучение есть у любого тела с температурой выше абсолютного нуля.
Абсолютно чёрное тело — идеализированное тело, полностью поглощающее падающее на него излучение. В природе нет идеального такого тела, но некоторые объекты близки к этой модели. Она нужна как эталон: свойства её излучения зависят от температуры, а не от материала и формы тела.
Закон Стефана — Больцмана устанавливает, что энергетическая светимость абсолютно чёрного тела R равна σT⁴. Энергетическая светимость — это энергия, которую излучает единица поверхности за единицу времени, суммированная по всем длинам волн. Здесь T — температура в кельвинах, а σ — постоянная Стефана — Больцмана.
Закон смещения Вина связывает температуру с длиной волны λmax, на которой спектр излучения имеет максимум: λmaxT = b. Постоянная b равна примерно 2,9·10⁻³ м·К. Закон позволяет по положению максимума спектра оценить температуру излучающего тела.
Нагретое тело испускает электромагнитные волны, потому что его частицы непрерывно движутся и взаимодействуют, передавая и преобразуя энергию. При повышении температуры средняя энергия частиц возрастает, поэтому излучение усиливается. Одновременно меняется распределение энергии по длинам волн — спектр, то есть набор волн, которые испускает тело. Чтобы отделить общие закономерности от влияния состава вещества, излучение сравнивают с излучением абсолютно чёрного тела.
Энергетическая светимость R показывает, сколько энергии излучает каждый квадратный метр поверхности за секунду. Излучение распределено по разным длинам волн, поэтому для полной светимости нужно сложить вклад всего спектра. Это не то же самое, что яркость излучения в узком диапазоне или на одной длине волны. Такая величина удобна, когда нужно сравнить общую мощность излучения поверхностей разных температур.
Закон Стефана — Больцмана описывает, как меняется полная светимость с температурой: R = σT⁴. Четвёртая степень означает, что рост излучения намного быстрее роста температуры. Например, если абсолютную температуру увеличить вдвое, светимость станет больше в 2⁴ = 16 раз. Именно поэтому даже сравнительно небольшое нагревание может заметно увеличить мощность, излучаемую поверхностью.
Для определения положения максимума спектра используют закон смещения Вина: λmaxT = b. При повышении T произведение остаётся постоянным, поэтому λmax должна уменьшаться. Иначе говоря, максимум переходит к более коротким волнам. Это не означает, что тело перестаёт излучать длинные волны: меняется именно положение максимума распределения энергии.
Цвет видимого излучения связан с тем, в какой области спектра находится его максимум: при высокой температуре максимум может смещаться к более коротким, в том числе видимым, волнам. Поэтому по спектру звезды можно оценить температуру её поверхности. Реальные звёзды и обычные тела не являются абсолютно чёрными, но законы дают приближение, когда их излучение достаточно близко к эталонному. Это позволяет применять простые зависимости к наблюдаемым объектам.
| Что описывает | Закон Стефана — Больцмана | Закон смещения Вина |
|---|---|---|
| Формула | R = σT⁴ | λmaxT = b |
| Физическая величина | Полная энергетическая светимость | Длина волны максимума спектра |
| Зависимость от температуры | Пропорциональна T⁴ | Обратно пропорциональна T |
| Единицы измерения постоянной | σ: Вт/(м²·К⁴) | b: м·К |
| Какой вывод можно сделать о нагревании тела | Полная светимость быстро возрастает | Максимум спектра смещается к коротким волнам |
Сначала определите, какой вопрос решается: о полной мощности излучения или о положении максимума спектра. Затем выберите соответствующий закон и подставьте температуру в кельвинах. Если сравниваются два тела, удобно рассматривать отношение величин: постоянные в нём сокращаются.
Задача 1. Найдите энергетическую светимость абсолютно чёрного тела при температуре 1000 К. Используйте σ = 5,67·10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴). Требуется найти полное излучение единицы поверхности за секунду. Температура уже дана в кельвинах.
Ответ: 5,67·10⁴ Вт/м².
Задача 2. Для излучения звезды максимум спектра приходится на длину волны 500 нм. Оцените температуру поверхности звезды, используя b = 2,9·10⁻³ м·К. Нужно выразить температуру из закона Вина. Перед расчётом переведём длину волны в метры: 500 нм = 500·10⁻⁹ м = 5·10⁻⁷ м.
Ответ: примерно 5800 К.
Задача 3. Температура поверхности одного тела в два раза выше температуры другого. Найдите, во сколько раз различаются их светимости и длины волн максимумов спектра, если оба тела считать абсолютно чёрными. Обозначим меньшую температуру через T, тогда большая равна 2T. Сравним каждую величину отдельно.
Ответ: светимости различаются в 16 раз; длина волны максимума у более горячего тела в 2 раза меньше.
Подстановка температуры в градусах Цельсия даёт неверный результат, потому что законы используют абсолютную температуру. Ошибка возникает, когда забывают перевести привычные градусы в кельвины; для этого к температуре в градусах Цельсия прибавляют 273,15. Проверьте себя: в записи расчёта должно стоять значение T в К.
Если в законе Стефана — Больцмана забыть четвёртую степень, получится неверная пропорциональность R и T. Так бывает, когда формулу сокращают при переписывании или ориентируются только на слово «пропорциональна». Проверьте результат при удвоении температуры: светимость должна увеличиться в 16 раз, а не вдвое.
Иногда считают, что при нагревании длина волны максимума увеличивается. Ошибка связана с тем, что с ростом температуры возрастает энергия излучения, но закон Вина описывает обратную зависимость λmax от T. Проверка проста: если T выросла, произведение λmaxT должно остаться постоянным, значит λmax уменьшается.
Ещё одна ошибка — применять закон Стефана — Больцмана к излучению только на одной длине волны. Светимость R учитывает суммарное излучение по всему спектру, а не отдельный его участок. Проверьте, что именно требуется найти: если речь идёт о полном излучении поверхности, подходит закон Стефана — Больцмана.
Для понимания законов нужны представления об электромагнитных волнах, длине волны, спектре и абсолютной температуре. Излучение звёзд связывает эти зависимости с астрономией: по максимуму спектра можно оценить температуру поверхности. Реальные объекты описывают через модель абсолютно чёрного тела приближённо, учитывая сходство их спектров. Теоретическое объяснение теплового излучения связано с квантовыми представлениями и формулой Планка.
Что называют абсолютно чёрным телом?
Это идеализированное тело, которое поглощает всё падающее на него излучение и ничего не отражает и не пропускает. Его используют как эталон, чтобы выявить общие закономерности теплового излучения.
Что показывает энергетическая светимость?
Она показывает, сколько энергии излучает единица поверхности тела за единицу времени. Величина учитывает излучение во всём спектре, а не только на одной длине волны.
Почему в законе Стефана — Больцмана температура возводится в четвёртую степень?
Это установленная закономерность для полного излучения абсолютно чёрного тела: R = σT⁴. Поэтому при удвоении абсолютной температуры светимость возрастает в 16 раз, а не в два.
Почему при нагревании максимум спектра смещается к коротким волнам?
Закон Вина задаёт обратную зависимость длины волны максимума от температуры: λmax = b/T. Когда температура растёт, длина волны, на которую приходится максимум, уменьшается.
Можно ли применять эти законы к обычным телам и звёздам?
Да, приближённо, если спектр тела близок к спектру абсолютно чёрного тела. Поэтому по излучению звёзд можно оценивать температуру их поверхности.
§ 6.2. Законы Стефана — Больцмана и Вина
