§ 7.8. Волновая функция

Определения и обозначения

Волновая функция ψ описывает квантовое состояние частицы и позволяет находить вероятности возможных результатов измерения. Она зависит от координат и, если состояние меняется со временем, от времени. Это описание нужно потому, что квантовое состояние не всегда можно представить как точную классическую траекторию.

Квадрат модуля волновой функции |ψ|² связан с плотностью вероятности обнаружить частицу в данной точке. Для комплексной функции квадрат модуля вычисляют как ψ*ψ, где ψ* — функция, комплексно-сопряжённая ψ. Эта величина используется вместо самого значения ψ, поскольку всегда получается вещественной и неотрицательной.

Плотность вероятности показывает, как вероятность обнаружения распределена в пространстве. Вероятность для области находят интегрированием |ψ|² по этой области: чем больше интеграл, тем выше вероятность обнаружить частицу внутри неё. Так переходят от значения функции в каждой точке к вероятности измеримого результата.

Нормировка волновой функции — условие, при котором суммарная вероятность обнаружить частицу во всём допустимом пространстве равна единице. Например, в одном измерении интеграл |ψ(x)|² по всему пространству должен быть равен 1. Нормировка нужна, чтобы вероятности всех возможных положений вместе давали 100%.

Как это устроено

В классической механике движение тела можно описать траекторией и положением в каждый момент времени. Для квантовой частицы такой способ не всегда подходит: измерения дают вероятностные результаты, а попытка приписать частице заранее определённую траекторию не описывает наблюдаемое распределение. Поэтому состояние задают волновой функцией, из которой можно рассчитать вероятности разных результатов измерения.

Само значение ψ не является вероятностью. Вероятность не может быть комплексной или отрицательной, тогда как волновая функция может принимать такие значения. Связь с наблюдаемым результатом задаёт квадрат модуля: |ψ|² = ψ*ψ. Умножение на комплексно-сопряжённую функцию устраняет мнимую часть и даёт вещественную неотрицательную величину.

Комплексные значения волновой функции полезны для математического описания квантового состояния, хотя непосредственно измеряемое распределение вероятности остаётся вещественным. Если ψ = a + bi, то |ψ|² = a² + b², а не ψ². Например, при ψ = 1 + i плотность вероятности равна 2, тогда как обычный квадрат дал бы комплексное число. Именно квадрат модуля позволяет использовать волновую функцию для предсказания результатов измерений.

В непрерывном пространстве вероятность обнаружить частицу в одной строго заданной точке не получают просто подстановкой координаты в |ψ|². Значение |ψ|² в точке — это плотность, то есть характеристика распределения вероятности вблизи неё. Чтобы получить вероятность для интервала от a до b, складывают вклады всех его точек интегрированием: P = ∫ₐᵇ |ψ(x)|² dx. В трёхмерном случае интегрируют по объёму выбранной области.

Нормировка нужна потому, что частица должна быть обнаружена где-либо в полном допустимом пространстве: совокупность всех возможных положений имеет вероятность 1. Если интеграл |ψ|² по этому пространству не равен единице, волновую функцию умножают на коэффициент, который приводит интеграл к единице. Нормируют по всей области, где частица может находиться, а не только по участку, вероятность которого хотят вычислить. После нормировки интеграл по любому отдельному участку даёт долю общей вероятности.

Волновая функция и связанные с ней величины

Таблица показывает, как перейти от описания состояния к вероятности конкретного результата. При расчёте сначала находят |ψ|², затем интегрируют его по нужной области; отдельно проверяют нормировку по всему допустимому пространству.

Разбор задач

Задача 1. Волновая функция частицы в точке равна ψ = 3. Найдём плотность вероятности, считая ψ вещественной.

1. Плотность вероятности определяется квадратом модуля: |ψ|².
2. Так как ψ = 3 — вещественное число, его модуль равен 3.
3. Вычисляем |ψ|² = 3² = 9.

Ответ: плотность вероятности в точке равна 9 в соответствующих единицах. Это значение не является вероятностью обнаружить частицу в самой точке.

Задача 2. В одномерной области длиной L волновая функция постоянна: ψ(x) = A. Найдём A из условия нормировки.

1. Поскольку функция ненулевая только на отрезке длины L, интеграл плотности по всей области равен ∫₀ᴸ |A|² dx.
2. A постоянна, поэтому интеграл равен |A|²L. По нормировке |A|²L = 1, откуда |A| = 1/√L.
3. Если выбираем положительное вещественное значение A, получаем A = 1/√L. Проверка: ∫₀ᴸ (1/L) dx = 1.

Ответ: A = 1/√L при положительном выборе коэффициента. Если знак или фаза функции выбраны иначе, условие нормировки всё равно требует |A| = 1/√L.

Задача 3. Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L, где ψ(x) = A sin(πx/L), а вне области ψ = 0. Сначала найдём A, затем вероятность для участка от 0 до L/2.

1. Условие нормировки: A²∫₀ᴸ sin²(πx/L) dx = 1. Интеграл равен L/2, поэтому A²L/2 = 1 и при положительном A получаем A = √(2/L).
2. Для половины области вероятность равна P = A²∫₀ᴸ⁄² sin²(πx/L) dx. Подставляем A² = 2/L.
3. Интеграл от 0 до L/2 равен L/4, поэтому P = (2/L)·(L/4) = 1/2. Симметрия плотности относительно середины отрезка также подтверждает результат.

Ответ: A = √(2/L), вероятность обнаружить частицу на участке от 0 до L/2 равна 1/2.

Типичные ошибки

Ошибка — считать ψ самой вероятностью. Её допускают, потому что слово «волновая» может навести на мысль о величине, непосредственно описывающей наблюдение. Но ψ бывает отрицательной или комплексной, а вероятность должна быть неотрицательной; проверяйте, что в расчёте использовано |ψ|².

При комплексной ψ нельзя просто возводить её в квадрат. Например, квадрат 1 + i остаётся комплексным, а плотность вероятности должна быть вещественной. Ошибка возникает из-за привычки считать модуль и квадрат одним действием; для проверки вычислите ψ*ψ, а не ψ·ψ.

Значение |ψ|² в точке не равно вероятности найти частицу именно в этой точке. Это плотность, и путаница возникает из-за того, что в обычных задачах вероятность часто задают одним числом. Для непрерывного распределения находите вероятность на интервале или в области, интегрируя плотность.

Нельзя забывать нормировку или нормировать функцию только на интересующем участке. Так можно ошибочно принять вероятность выбранного участка за единицу, хотя частица может находиться и в других местах. Проверка проста: интеграл |ψ|² по всему допустимому пространству должен равняться 1.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны представления о волнах, функциях и вероятности случайных событий. Волны помогают понять, почему состояние описывают распределением, а функции — как это распределение зависит от координат. Вероятность нужна, чтобы связать описание состояния с результатами измерений. Понятие волновой функции пригодится при дальнейшем изучении квантовой механики, атомных состояний и распределения вероятности обнаружить частицу.

Что запомнить

• Волновая функция описывает квантовое состояние частицы.
• Непосредственно с вероятностью связана величина |ψ|².
• Плотность вероятности неотрицательна.
• Вероятность для области получают интегрированием плотности по этой области.
• Суммарная вероятность обнаружения частицы равна единице.
• Само значение ψ не следует трактовать как вероятность.