§ 7.7. Соотношение неопределенностей

Определения и обозначения

Квантовая неопределённость — принципиальное ограничение точности одновременного задания некоторых пар физических величин, а не просто недостаток измерительного прибора. Даже идеальный прибор не позволит устранить этот предел. Понятие нужно, чтобы отличать особенности квантового мира от обычной технической неточности.

Неопределённость координаты Δx — характеристика разброса результатов измерения координаты частицы в одинаково приготовленных квантовых состояниях. Если повторять измерения для таких состояний, результаты не обязательно совпадут. Величина Δx показывает, насколько сильно они разбросаны, и позволяет оценить степень локализации частицы.

Неопределённость импульса Δp — характеристика разброса результатов измерения импульса частицы в одинаково приготовленных квантовых состояниях. Импульс обозначают p; для тела с массой m и скоростью v он равен p = mv. Величина Δp нужна, чтобы выразить, насколько различаются возможные значения импульса в серии измерений.

Соотношение неопределённостей — неравенство Δx·Δp ≥ ħ/2, связывающее неопределённости координаты и импульса одной частицы. Здесь ħ — постоянная Планка, делённая на 2π. Неравенство показывает, что произведение разбросов не может быть сколь угодно малым, и задаёт нижний предел для квантового состояния.

Как это устроено

В квантовой физике неопределённость означает именно разброс результатов, а не наше незнание о точном значении, которое якобы можно обнаружить более совершенным прибором. Представим много частиц, приготовленных одним и тем же способом, и измерим их координаты. Получится набор значений; его разброс и характеризует Δx. Для импульса проводят такую же серию измерений и получают Δp.

Частицу можно описывать как волну, но волна с одной длиной волны распространяется по всему пространству и не задаёт узкую область нахождения частицы. Чтобы получить волну, сосредоточенную около определённого места, складывают волны с разными длинами волн. Длина волны связана с импульсом: волны с разными длинами волн соответствуют разным импульсам. Поэтому локализация частицы приводит к разбросу импульсов.

Соотношение Δx·Δp ≥ ħ/2 выражает этот компромисс количественно. Если Δx уменьшается, то Δp должно увеличиваться так, чтобы произведение не стало меньше ħ/2. Значит, нельзя одновременно сделать оба разброса сколь угодно малыми. Иногда произведение достигает нижней границы, но в общем случае оно может быть больше.

Постоянная ħ = h/(2π) называется постоянной Планка, делённой на 2π; её значение приблизительно равно 1,055·10⁻³⁴ Дж·с. Это очень малая величина, поэтому минимальное произведение неопределённостей особенно важно для микрочастиц. Для массивных тел обычные значения массы и размеров делают квантовую границу настолько малой, что в повседневных наблюдениях она практически не проявляется.

Для энергии и времени используют соотношение ΔE·Δt ≳ ħ/2. Оно связано, например, с тем, что состояние, существующее очень короткое время, может иметь заметный разброс энергии. Знак ≳ означает оценку порядка величины и подчёркивает, что эта пара трактуется не так, как координата и импульс: время здесь не является наблюдаемой координатой состояния в том же смысле.

Соотношения неопределённостей и их смысл

Сначала определите, какая пара величин дана в задаче, затем выберите соответствующую строку и выразите искомую неопределённость. Для координаты и импульса используйте знак ≥: вычисление даёт нижнюю границу, а не обязательно фактическое значение. Не смешивайте неопределённость и точность прибора — в таблице речь идёт о разбросе результатов.

Разбор задач

Задача 1. Для электрона неопределённость координаты равна 1,0·10⁻¹⁰ м. Найдём минимально возможную неопределённость импульса. Из Δx·Δp ≥ ħ/2 следует, что Δp ≥ ħ/(2Δx); подставим ħ = 1,055·10⁻³⁴ Дж·с.

1. Записываем исходную величину: Δx = 1,0·10⁻¹⁰ м. Нужно найти нижнюю границу для Δp, поэтому переставляем множители в неравенстве: Δp ≥ ħ/(2Δx). Такой выбор формулы сохраняет единицы импульса.

2. Подставляем числа: Δp ≥ 1,055·10⁻³⁴/(2·1,0·10⁻¹⁰). Получаем примерно 5,3·10⁻²⁵ кг·м/с, поскольку Дж·с/м = кг·м/с. Это именно минимально возможная неопределённость.

Ответ: Δp ≥ 5,3·10⁻²⁵ кг·м/с.

Задача 2. Неопределённость импульса частицы равна 2,0·10⁻²⁴ кг·м/с. Оценим минимальную неопределённость координаты. Выражаем Δx из того же неравенства: Δx ≥ ħ/(2Δp).

1. Подставляем известное значение импульса и постоянную Планка: Δx ≥ 1,055·10⁻³⁴/(2·2,0·10⁻²⁴). Сначала учитываем коэффициенты, затем степени десяти. Так легче проверить порядок результата и не потерять множитель 2.

2. Вычисляем: Δx ≥ 2,64·10⁻¹¹ м, или приблизительно 2,6·10⁻¹¹ м. Единицы согласованы, потому что Дж·с/(кг·м/с) = м. Полученное значение является нижней границей, а не гарантированным фактическим разбросом.

Ответ: Δx не может быть меньше примерно 2,6·10⁻¹¹ м.

Задача 3. Масса макроскопического тела равна 1,0 кг, а неопределённость скорости — 1,0·10⁻⁶ м/с. Сначала найдём неопределённость импульса: для постоянной массы Δp = mΔv. Затем оценим соответствующую нижнюю границу для координаты.

1. Находим Δp: Δp = 1,0·1,0·10⁻⁶ = 1,0·10⁻⁶ кг·м/с. Нельзя подставлять в соотношение неопределённостей саму скорость, потому что там стоит импульс. Связь между ними задаёт формула Δp = mΔv.

2. Используем Δx ≥ ħ/(2Δp): Δx ≥ 1,055·10⁻³⁴/(2·1,0·10⁻⁶) ≈ 5,3·10⁻²⁹ м. Эта граница намного меньше размеров атома и любых обычных масштабов измерения. Поэтому для такого тела квантовое ограничение практически незаметно.

Ответ: минимальная неопределённость координаты составляет примерно 5,3·10⁻²⁹ м; в повседневных условиях этот эффект неразличим.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что Δx·Δp всегда равно ħ/2. Так думают, потому что в формуле легко не заметить знак неравенства. На самом деле ħ/2 — нижняя граница, а произведение может быть больше; проверьте, записали ли вы знак ≥.

Ошибка: принимать неопределённости за погрешности прибора. Обычно измерения связывают с точностью инструмента, поэтому квантовый разброс ошибочно считают устранимым улучшением прибора. Проверьте смысл величин: Δx и Δp описывают разброс измерений для одинаковых состояний даже при идеальном приборе.

Ошибка: путать импульс с массой или скоростью. Это происходит, когда в условии дана скорость и её сразу подставляют вместо Δp. Найдите импульсную неопределённость по формуле Δp = mΔv и проверьте единицы: у импульса это кг·м/с.

Ошибка: считать, что обе неопределённости можно одновременно сделать сколь угодно малыми. Такое ожидание переносит классическое представление о точности на квантовую частицу. После вычисления проверьте произведение Δx·Δp: оно не должно быть меньше ħ/2, а уменьшение одного разброса требует увеличения другого.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия импульса тела, постоянной Планка и основы волновых представлений о частицах. Соотношение неопределённостей помогает объяснить, почему волновые свойства микрочастиц нельзя описать только классическими траекториями. Оно применяется при изучении строения атома и квантовых явлений, где классическое описание имеет ограничения.

Что запомнить

• Неопределённость — характеристика разброса результатов измерений.
• Для координаты и импульса Δx·Δp ≥ ħ/2.
• ħ = h/(2π).
• Чем точнее задана координата, тем менее определён импульс.
• Соотношение задаёт принципиальный предел, а не недостаток прибора.
• Для макроскопических тел квантовая неопределённость обычно пренебрежимо мала.