"Физика", Б.Кронгарт, Ш.Насохова, С.Туякбаев, В.Кем, В.Загайнова
Движущиеся частицы обладают не только свойствами отдельных объектов, но и волновым проявлением — его называют волной де Бройля. Длина этой волны определяется импульсом частицы: λ = h/p, а для нерелятивистского движения — λ = h/(mv). У микрочастиц волновые эффекты можно обнаружить по дифракции, если длина волны сравнима с препятствием или периодом кристаллической решётки. У обычных тел импульс велик, поэтому их волны почти незаметны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Волна де Бройля — волновое проявление, связанное с движением любой микрочастицы. Это не механическая волна, в которой колеблется вещество среды: отдельные частицы не раскачивают вокруг себя какой-то материал. Понятие помогает описывать поведение частиц, для которого недостаточно представления о них только как о маленьких телах.
Длина волны де Бройля — характеристика волнового проявления частицы, определяемая формулой λ = h/p. Здесь λ — длина волны, h — постоянная Планка, p — импульс частицы. Эта величина позволяет оценить, можно ли ожидать волновых эффектов в конкретной ситуации.
Импульс частицы — физическая величина, зависящая от массы и скорости тела. Для нерелятивистского движения, то есть при скоростях, существенно меньших скорости света, p = mv. Импульс нужен, чтобы по формуле λ = h/p найти длину волны и понять, как движение частицы влияет на неё.
Дифракция частиц — огибание частицами препятствий и возникновение интерференционной картины, то есть чередования усиления и ослабления результата сложения волн. Такое поведение нельзя объяснить только движением классических частиц по прямым траекториям. Наблюдаемая дифракция служит экспериментальным подтверждением волновых свойств вещества.
Свет проявляет свойства волны, например интерференцию, и одновременно переносит импульс, как поток отдельных порций энергии — фотонов. Для фотона импульс связан с длиной волны соотношением p = h/λ. Де Бройль предположил, что связь между импульсом и волной не должна быть особенностью только света. Он распространил её на частицы вещества: движущейся частице соответствует волна с длиной λ = h/p.
Перепишем соотношение для фотона p = h/λ, выразив длину волны: λ = h/p. Гипотеза де Бройля состоит в том, что такая же формула применима к частицам вещества, хотя они не являются фотонами. Поэтому для определения длины волны частицы надо знать её импульс. Чем больше импульс, тем короче соответствующая волна: постоянная h делится на большую величину.
Для частицы, движущейся нерелятивистски, импульс равен p = mv. Подстановка этого выражения в λ = h/p даёт λ = h/(mv). Если масса остаётся прежней, увеличение скорости увеличивает импульс и уменьшает длину волны; то же происходит при увеличении массы при неизменной скорости. Поэтому волновые свойства особенно существенны для лёгких микрочастиц, а не для тяжёлых тел.
Чтобы волновое проявление можно было заметить, длина волны должна быть сопоставима с характерным размером препятствия или промежутком между элементами структуры. Если препятствие намного больше длины волны, отклонение и огибание частиц трудно отличить от обычного движения. Периоды кристаллических решёток очень малы, поэтому кристалл может служить подходящей структурой для наблюдения дифракции микрочастиц. Именно сравнение масштабов помогает предсказать, будет ли эффект заметен.
У макроскопических тел масса обычно велика, а вместе с ней при обычных скоростях велик и импульс. Из λ = h/p следует, что их длина волны становится чрезвычайно малой по сравнению с размерами доступных препятствий и приборов. Поэтому дифракционные эффекты таких тел практически невозможно наблюдать в обычных условиях. Это не означает, что волновое проявление к ним не относится: оно просто неразличимо на привычном масштабе.
| Частица и условия движения | Импульс | Длина волны де Бройля | Наблюдаемость волновых свойств |
|---|---|---|---|
| Нерелятивистская частица массы m и скорости v | p = mv | λ = h/(mv) | Зависит от сравнения λ с размером препятствия или периодом решётки |
| Фотон | p = h/λ | λ = h/p | Волновые свойства проявляются в интерференции и дифракции света |
| Микрочастица с импульсом, сравнимым с импульсом макротела | Большой для микрочастицы импульс | Мала по сравнению с длиной волны частицы с меньшим импульсом | Труднее обнаружить, если λ намного меньше размеров препятствий |
| Частица, для которой длина волны сравнима с периодом кристаллической решётки | p = h/λ | Сопоставима с периодом решётки | Дифракция на кристалле может быть заметной |
Сначала определите импульс частицы подходящей формулой, затем найдите λ и сопоставьте её с характерным размером препятствия. Строки таблицы показывают, что одна и та же формула применима к разным частицам, но наблюдаемость зависит от соотношения масштабов. Для фотона выражение связывает его импульс и длину волны.
Найти длину волны де Бройля электрона, движущегося с заданной нерелятивистской скоростью v. Поскольку скорость считается нерелятивистской, импульс можно найти как p = mv. Обозначим массу электрона через mₑ, постоянную Планка — h, а скорость переведём в метры в секунду, если она задана в других единицах.
Численное значение зависит от заданной скорости: без неё единственный численный ответ получить нельзя. Ответ: λ = h/(mₑv), после подстановки скорости получается длина волны в метрах.
Электрон проходит разность потенциалов U; требуется найти его длину волны, считая движение нерелятивистским. Электрическое поле сообщает электрону кинетическую энергию eU, где e — модуль заряда электрона. Приравняв её к mv²/2, найдём скорость или сразу импульс, чтобы не выполнять лишние вычисления.
Формула показывает, что при большей разности потенциалов электрон получает больший импульс, поэтому его длина волны становится меньше. Ответ: λ = h/√(2mₑeU), если электрон движется нерелятивистски.
Даны импульс электрона и период кристаллической решётки; нужно оценить, будет ли дифракция заметна. Для этого не требуется вычислять траекторию каждой частицы: сравним два характерных масштаба. Пусть импульс равен p, а период решётки — d.
Проверять нужно именно длину волны и период решётки, а не скорость и период напрямую. Ответ: дифракция ожидается заметной, когда h/p сравнимо с d; без численных значений можно дать только эту оценку.
Считать волну де Бройля обычной механической волной в среде — значит приписывать ей колеблющееся вещество, которого формула не предполагает. Такую картину легко представить по аналогии со звуком или волнами на воде, но здесь речь идёт о волновом свойстве самой частицы. Проверка: в определении нет среды, частицы которой должны колебаться.
Подставлять скорость вместо импульса в λ = h/p нельзя: скорость и импульс — разные физические величины. Ошибка возникает потому, что скорость часто дана в условии задачи и кажется готовой заменой p. Для нерелятивистского движения сначала найдите p = mv, а затем используйте λ = h/p; проверьте также единицы результата.
Полагать, что длина волны растёт с массой или скоростью, — значит неверно прочитать дробь λ = h/(mv). При неизменных остальных величинах рост массы или скорости увеличивает знаменатель, поэтому λ уменьшается. Проверьте себя предельным рассуждением: большему импульсу должна соответствовать меньшая длина волны.
Ожидать заметной дифракции макроскопического тела обычно не следует. Заблуждение появляется из-за того, что волновые свойства приписывают любому движущемуся телу, а затем делают вывод, будто эффект всегда виден. Рассчитайте λ = h/p и сравните её с размерами препятствия: если волна чрезвычайно мала, дифракцию будет трудно обнаружить.
Для понимания волн де Бройля нужны импульс тела, формула p = mv для нерелятивистского движения и свойства волн, прежде всего дифракция. Связь импульса и длины волны продолжает изучение корпускулярно-волнового дуализма: свет может проявляться как волна и переносить импульс, а частицы вещества обнаруживают волновые свойства. Дифракция электронов стала одним из подтверждений этой идеи. Она важна для квантовой физики и используется в электронных микроскопах, где волновое поведение электронов помогает исследовать мелкие структуры.
Что называют волной де Бройля?
Так называют волновое проявление, связанное с движением частицы. Это не механическая волна в среде, где колеблется вещество, а квантовое свойство частицы.
Как найти длину волны де Бройля частицы?
Используют формулу λ = h/p, где h — постоянная Планка, а p — импульс частицы. Для нерелятивистского движения p = mv, поэтому λ = h/(mv).
Почему длина волны уменьшается при увеличении скорости частицы?
При неизменной массе рост скорости увеличивает импульс p = mv. Поскольку длина волны обратно пропорциональна импульсу, λ = h/p уменьшается.
Как опытно обнаруживают волновые свойства электронов?
Электроны направляют на препятствие или кристалл и наблюдают дифракционную картину — результат огибания препятствий и интерференции. Эффект заметен, когда длина волны электронов сравнима с характерным размером препятствия или периодом решётки.
Почему волновые свойства обычных макроскопических тел незаметны?
У макроскопического тела обычно большой импульс, поэтому его длина волны де Бройля крайне мала. Она несравнима с доступными препятствиями и не даёт заметной дифракции.
§ 7.6. Волны де Бройля
