§ 13. Механические колебания

Определения и обозначения

Механические колебания — движения, которые повторяются во времени около положения равновесия. При однократном перемещении тело проходит путь из одной точки в другую и не обязано возвращаться к прежним положениям; при колебаниях последовательность положений повторяется. Это понятие помогает отличать периодическое движение от обычного перемещения.

Положение равновесия — положение тела, в котором равнодействующая сил равна нулю. Отклонённое от него тело может начать колебаться, если на него действует сила, направляющая его обратно. Положение равновесия служит точкой отсчёта: относительно него определяют отклонение и описывают движение.

Амплитуда колебаний — наибольшее отклонение тела от положения равновесия. Её обычно обозначают буквой A, а единицей СИ служит метр (м). Амплитуда показывает размах колебательного движения в одну сторону, поэтому нужна для оценки его размера.

Период T — время одного полного колебания, измеряется в секундах (с). Частота ν — число полных колебаний за единицу времени, её единица СИ — герц (Гц), то есть с⁻¹. Период и частота связаны формулами ν = 1/T и T = 1/ν, поэтому по одной величине можно найти другую.

Как это устроено

Колебательное движение повторяется, потому что тело снова и снова проходит одни и те же положения в одном и том же порядке. Временной промежуток, через который движение полностью повторяется, называют периодом. После полного цикла тело возвращается не просто в исходную точку, но и к тому же направлению движения. Именно такая повторяемость отличает колебания от однократного перемещения туда и обратно.

Если тело сместить из равновесия, возникает возвращающая сила — сила, направленная к положению равновесия. Под её действием тело разгоняется к равновесию, но из-за приобретённой скорости проходит его и оказывается по другую сторону. Там сила снова направлена к равновесию, поэтому движение меняет направление и повторяется. В точке равновесия равнодействующая может быть нулевой, однако скорость тела в этот момент обычно не равна нулю.

Рассмотрим груз, прикреплённый к пружине. При растяжении или сжатии пружина запасает потенциальную энергию, а сила упругости направляет груз к равновесию. По мере движения к равновесию потенциальная энергия уменьшается и превращается в кинетическую; в самой точке равновесия скорость и кинетическая энергия наибольшие. Затем груз сжимает или растягивает пружину с другой стороны, его кинетическая энергия переходит в потенциальную, и в крайнем положении скорость на мгновение становится равной нулю. В идеальной системе обмен энергией поддерживает колебания.

Чтобы измерить период, можно засечь время t, за которое тело совершает N полных колебаний, и разделить время на их число: T = t/N. Частоту находят как ν = N/t или как ν = 1/T. Измерение нескольких циклов повышает точность: ошибка запуска и остановки секундомера составляет примерно одинаковую долю общего времени, а при большем интервале её влияние на результат периода меньше. Важно считать завершённые циклы, а не отдельные проходы через равновесие.

На графике гармонического колебания координата меняется периодически: она доходит до крайних значений +A и −A, а затем возвращается. Гармоническое колебание — движение, координата которого меняется по синусоидальному закону; на графике это плавная волна. Период равен времени между одинаковыми фазовыми состояниями, например между соседними максимумами. На приведённом графике максимум повторяется через 2 с, значит T = 2 с, а крайние координаты равны ±0,1 м.

Величины, описывающие механические колебания

Сначала определите, какую характеристику требуется найти: размах движения, длительность цикла или число циклов за секунду. Если известны время наблюдения и число полных циклов, используйте T = t/N и ν = N/t. Амплитуда характеризует отклонение, поэтому её нельзя вычислить только по периоду.

Разбор задач

Период и частота маятника

Маятник совершает 20 полных колебаний за 40 с. Требуется найти период и частоту. Дано общее время наблюдения и число завершённых циклов, поэтому сначала найдём длительность одного цикла, а затем число циклов за секунду. Такой порядок позволяет проверить результат двумя связанными формулами.

1. Период равен общему времени, делённому на число колебаний: T = t/N = 40 с/20 = 2 с.
2. Частоту находим по обратной величине: ν = 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц.
3. Проверка: за 40 с при частоте 0,5 Гц происходит 0,5 × 40 = 20 колебаний, как указано в условии.

Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц.

Амплитуда и период по графику

Максимальное отклонение тела равно 6 см, а соседние максимумы координаты наблюдаются в моменты 1,2 с и 2,0 с. Нужно определить амплитуду и период. Максимальное отклонение уже задано, а повторение максимума означает возвращение к тому же фазовому состоянию. Значит, разность времён этих максимумов равна одному периоду.

1. Амплитуда — наибольший модуль координаты: A = 6 см = 0,06 м.
2. Период равен промежутку между соседними максимумами: T = 2,0 с − 1,2 с = 0,8 с.
3. Единицы согласованы: амплитуда дана как длина, период — как время; перевод сантиметров в метры нужен, если ответ записывают в единицах СИ.

Ответ: A = 6 см (0,06 м), T = 0,8 с.

Параметры движения и путь за цикл

Тело совершает 12 колебаний за 6 с, амплитуда равна 4 см. Требуется найти период, частоту и путь за одно полное колебание. Сначала определим временные характеристики по числу циклов, а путь найдём по перемещениям между крайними точками и равновесием. За цикл тело проходит от одного края до другого и возвращается обратно.

1. Период: T = t/N = 6 с/12 = 0,5 с.
2. Частота: ν = N/t = 12/6 с = 2 Гц; проверка по формуле ν = 1/T также даёт 2 Гц.
3. За один цикл тело проходит четыре отрезка длиной A: от равновесия к краю, обратно через равновесие к другому краю и назад. Поэтому s = 4A = 4 × 4 см = 16 см.

Ответ: T = 0,5 с, ν = 2 Гц, путь за цикл s = 16 см.

Типичные ошибки

Амплитудой иногда называют расстояние между крайними положениями. Так происходит, потому что на рисунке заметен весь размах движения, однако амплитуда отсчитывается от равновесия до одного края. Расстояние между крайними точками равно 2A. Проверьте себя: если крайние координаты −5 см и +5 см, амплитуда составляет 5 см, а не 10 см.

Период и частоту путают, хотя они описывают обратные стороны одного процесса. Период измеряют в секундах и считают как время одного цикла, частоту измеряют в герцах и считают как число циклов в секунду. Проверка проста: Tν должно равняться 1. Например, периоду 0,25 с соответствует частота 4 Гц.

При вычислении периода можно ошибочно делить время на число переходов через положение равновесия. Тело проходит равновесие дважды за полный цикл, поэтому число таких переходов не равно числу колебаний. Чтобы проверить подсчёт, проследите за телом от выбранного положения до его возвращения в то же положение с тем же направлением движения. Только этот промежуток составляет один полный цикл.

Не всякое движение туда и обратно является колебанием. Однократный возврат может не повторяться, а колебания должны регулярно повторять движение около положения равновесия. Ошибку предотвращает проверка последовательности: тело отклоняется, возвращается, проходит равновесие и продолжает движение, после чего цикл повторяется. Если повторяемости нет, называть движение колебательным нельзя.

Связь с другими темами

Для описания колебаний нужны координата тела, скорость, ускорение и равнодействующая сил. Поэтому тема опирается на кинематику и законы Ньютона: по силе объясняют, почему тело меняет скорость и направление. Те же идеи применяют при изучении математического и пружинного маятников. Период и частота также важны при изучении звуковых и электромагнитных колебаний, хотя там колеблются другие физические величины.

Что запомнить

• Колебания повторяются во времени около положения равновесия.
• Амплитуда A — наибольшее отклонение от положения равновесия.
• Период T — время одного полного колебания.
• Частота ν — число колебаний за единицу времени.
• ν = 1/T, а T = 1/ν.
• За один полный цикл тело проходит путь 4A.