"Физика (базовый и профильный уровни)", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Пружинный маятник — груз, соединённый с пружиной и способный совершать колебания около положения равновесия. Такая модель помогает понять, как возникают гармонические колебания и от чего зависит их период. Главное соотношение: T = 2π√(m/k). Период увеличивается при росте массы груза, уменьшается при увеличении жёсткости пружины и в идеальном случае не зависит от амплитуды.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пружинный маятник — тело, прикреплённое к пружине и способное совершать колебания. На тело действуют сила упругости пружины и, если маятник вертикальный, сила тяжести. Эта модель нужна, чтобы исследовать колебания, возникающие под действием возвращающей силы.
Положение равновесия — положение, в котором равнодействующая всех сил равна нулю. При горизонтальной установке силы могут уравновешиваться без деформации пружины, а при вертикальной груз растягивает её. Отсчёт смещения от равновесия упрощает уравнение движения.
Жёсткость пружины k — коэффициент в законе Гука, характеризующий сопротивление пружины деформации. Чем больше k, тем сильнее пружина противодействует одинаковому растяжению или сжатию. Единица жёсткости — Н/м.
Период собственных колебаний T — время одного полного колебания маятника. Частота ν показывает, сколько колебаний происходит за единицу времени, поэтому ν = 1/T. Эти величины позволяют описывать скорость повторения колебаний разными способами.
Если груз сместить из положения равновесия, пружина изменит свою деформацию. Возникающая сила упругости направлена так, чтобы уменьшить это смещение, поэтому её называют возвращающей. Для горизонтального маятника именно сила упругости возвращает груз к равновесию, а для вертикального важна не вся сила упругости, а её изменение относительно равновесного значения.
В пределах упругой деформации действует закон Гука: сила упругости пропорциональна деформации пружины. Если координату x отсчитывать от положения равновесия, постоянные силы уже уравновешены, и проекция возвращающей силы записывается как F = −kx. Знак минус показывает противоположные направления силы и смещения: при x > 0 сила направлена в отрицательную сторону, а при x < 0 — в положительную.
По второму закону Ньютона равнодействующая сила равна произведению массы на ускорение. Поэтому для маятника получаем ma = −kx, или a = −(k/m)x. Ускорение всегда направлено к равновесию и пропорционально удалению от него, а именно такой признак характерен для гармонических колебаний.
Сравнение уравнения ma = −kx с уравнением гармонических колебаний даёт циклическую частоту ω₀ = √(k/m). Из связи ω₀ = 2πν следуют период T = 2π√(m/k) и частота ν = (1/2π)√(k/m). Масса и жёсткость входят под квадратным корнем: более тяжёлый груз колеблется медленнее, а более жёсткая пружина возвращает его быстрее.
В идеальной модели период не меняется при изменении амплитуды. Это объясняется линейностью закона Гука: при большей амплитуде сила и ускорение возрастают в той же пропорции, поэтому время одного цикла сохраняется. На практике независимость от амплитуды приближённая и нарушается при больших деформациях, нелинейности пружины или заметном сопротивлении среды.
| Характеристика | Обозначение или формула | От чего зависит |
|---|---|---|
| Возвращающая сила при смещении от равновесия | F = −kx | От жёсткости k и смещения x; направлена против x |
| Уравнение движения | ma = −kx | От массы тела, жёсткости и координаты |
| Циклическая частота собственных колебаний | ω₀ = √(k/m) | Увеличивается с k и уменьшается с m |
| Период собственных колебаний | T = 2π√(m/k) | Увеличивается с m и уменьшается с k |
| Частота собственных колебаний | ν = 1/T = (1/2π)√(k/m) | Увеличивается с k и уменьшается с m |
| Зависимость периода от массы и жёсткости | T ∝ √m; T ∝ 1/√k | Масса и жёсткость влияют через квадратный корень |
| Зависимость периода от амплитуды в идеальной модели | T не зависит от A | Не зависит от амплитуды при линейной пружине |
Сначала определите, какую характеристику требуется найти, а затем выберите соответствующую строку. При сравнении двух маятников удобнее использовать пропорциональности, не вычисляя каждый период полностью. Формулы таблицы применимы к идеальным малым колебаниям и величинам в единицах СИ.
Условие: груз массой 0,25 кг прикреплён к пружине жёсткостью 100 Н/м. Найдите период малых колебаний. Все данные уже записаны в единицах СИ, поэтому дополнительный перевод не требуется.
Ответ: T ≈ 0,31 с.
Условие: период маятника равен 0,8 с, масса груза — 0,16 кг. Найдите жёсткость пружины. Требуется выразить k из формулы периода, а затем подставить известные величины.
Ответ: k ≈ 9,9 Н/м.
Условие: на одной пружине проводят опыты с грузами 0,20 кг и 0,80 кг. Во сколько раз отличаются периоды? Затем сравните исходный период с периодом на пружине в четыре раза большей жёсткости. Здесь достаточно сравнить зависимости, поэтому полные вычисления не нужны.
Ответ: периоды отличаются в 2 раза; при увеличении жёсткости в четыре раза период уменьшается в 2 раза.
Отсчёт от недеформированной пружины. Так часто делают при вертикальном маятнике, забывая о растяжении под действием силы тяжести. Проверьте себя: начало координат должно быть там, где равнодействующая сил равна нулю.
Потеря знака минус. Если записать F = kx, сила окажется направленной в сторону смещения и не будет возвращать груз. Проверьте направление: при положительном x проекция силы должна быть отрицательной.
Смешение ω₀ и ν. Циклическая частота измеряется в радианах за секунду, а обычная частота — в герцах, поэтому ω₀ = 2πν. Проверка проста: формула периода через ω₀ имеет вид T = 2π/ω₀, а через ν — T = 1/ν.
Неверная пропорциональность периода. Период не пропорционален самой массе и не обратно пропорционален самой жёсткости: обе величины находятся под корнем. Перед сравнением запишите T = 2π√(m/k) и только потом составьте отношение.
Для понимания пружинного маятника нужны закон Гука, второй закон Ньютона, понятие положения равновесия и признаки гармонического колебания. Эта модель становится основой для изучения энергии колебаний, вынужденных колебаний и резонанса. Формула периода позволяет сравнивать системы, а по измеренному периоду — находить массу груза или жёсткость пружины.
Почему при вертикальном подвешивании груза период зависит от жёсткости, но не от силы тяжести?
Сила тяжести смещает положение равновесия, растягивая пружину. При малом смещении от нового равновесия сила тяжести и постоянная часть силы упругости взаимно компенсируются, поэтому в уравнении колебаний остаётся −kx.
От какого положения нужно отсчитывать смещение пружинного маятника?
Смещение отсчитывают от положения равновесия, где равнодействующая сил равна нулю. Для вертикального маятника это положение обычно не совпадает с длиной недеформированной пружины.
Почему в формуле периода есть множитель 2π?
Уравнение пружинного маятника совпадает с уравнением гармонических колебаний, где угловая частота измеряется в радианах за секунду. Связь ω₀ = 2πν приводит к формуле T = 2π√(m/k).
Как изменится период, если увеличить массу груза в четыре раза?
Период пропорционален √m. Поэтому при увеличении массы в четыре раза период увеличится в √4 = 2 раза.
Зависит ли период пружинного маятника от амплитуды колебаний?
В идеальной модели с линейной пружиной и без заметного сопротивления период от амплитуды не зависит. Это утверждение справедливо, пока пружина работает в пределах упругости и колебания можно считать гармоническими.
§ 15. Пружинный маятник
