§ 16. Математический маятник

Определения и обозначения

Математический маятник — модель тела, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити и совершающего колебания под действием силы тяжести. Размеры груза считают малыми по сравнению с длиной нити. Такая модель позволяет не учитывать второстепенные свойства реального маятника.

Малые колебания — колебания при небольших углах отклонения от вертикали. Для них можно считать, что sin α примерно равен α, если угол выражен в радианах. Это приближение делает уравнение движения простым.

Период математического маятника — время одного полного колебания; его обозначают T. За этот промежуток груз возвращается в прежнее положение и движется в прежнем направлении. Период измеряют в секундах.

Частота колебаний — число полных колебаний за единицу времени; она обозначается ν. Частота и период связаны соотношением ν = 1/T. Поэтому при увеличении периода частота уменьшается.

Как это устроено

Если груз отклонить от вертикали, сила тяжести направлена вниз, но не вся она перемещает груз вдоль дуги. Тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, поэтому возвращает груз назад. Пройдя нижнюю точку по инерции, груз продолжает движение к другой стороне и снова возвращается.

Пусть α — угол отклонения, а l — длина маятника. Тангенциальная составляющая силы тяжести равна Fₜ = −mg sin α: знак «минус» показывает, что сила направлена противоположно отклонению. При малых углах sin α ≈ α, а дуговое смещение s связано с углом формулой s = lα, поэтому Fₜ ≈ −mg·s/l.

Полученная зависимость имеет вид Fₜ = −ks, где коэффициент k = mg/l постоянен. Именно пропорциональность возвращающей силы смещению является условием гармонических колебаний. Поэтому при малых отклонениях угол и смещение маятника изменяются примерно по синусоидальному закону.

Второй закон Ньютона даёт m·d²s/dt² = −mg·s/l. После сокращения массы получаем d²s/dt² + (g/l)s = 0. Это уравнение гармонического осциллятора, его циклическая частота равна ω = √(g/l), а период связан с ней соотношением T = 2π/ω.

Подставляя значение ω, получаем T = 2π√(l/g). В формуле нет массы, потому что она сокращается при применении второго закона Ньютона. Амплитуда также не входит в результат, поскольку использовано линейное приближение sin α ≈ α; для больших углов оно перестаёт работать.

Основные характеристики математического маятника

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти. Затем выберите формулу и приведите все данные к единицам СИ. По таблице удобно проверить обозначения, зависимость величин и единицы полученного результата.

Разбор задач

Задача 1

Определить период маятника длиной 1 м при g = 9,8 м/с². Используем формулу для малых колебаний, поскольку угол отклонения считается небольшим. Единицы уже соответствуют СИ.

1. Записываем формулу: T = 2π√(l/g).
2. Подставляем данные: T = 2π√(1 м / 9,8 м/с²).
3. Проверяем единицу под корнем: м/(м/с²) = с², значит после извлечения корня получаются секунды.
4. Вычисляем: T ≈ 2π · 0,319 с ≈ 2,01 с.

Ответ: период маятника примерно равен 2,0 с.

Задача 2

Период маятника равен 2 с. Найдём длину и выясним, как изменится период при увеличении длины в четыре раза. Из формулы периода сначала возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня.

1. T² = 4π²l/g, откуда l = gT²/(4π²).
2. Подставляем значения: l = 9,8 · 4/(4π²) м ≈ 0,99 м.
3. Используем зависимость T ∝ √l: при l₂ = 4l₁ получаем T₂ = √4 · T₁ = 2T₁.

Ответ: длина маятника примерно 0,99 м, а новый период составит 4 с.

Задача 3

Маятник длины l отклонили на небольшой угол α и отпустили без начальной скорости. Максимальную скорость найдём из закона сохранения механической энергии. Обозначим высоту поднятия груза над положением равновесия через h.

1. В крайнем положении скорость равна нулю, поэтому энергия равна mgh.
2. В положении равновесия высота минимальна, а энергия движения равна mv²/2.
3. Приравниваем энергии: mgh = mv²/2, откуда vₘₐₓ = √(2gh).
4. Для отклонения на угол α высота h = l(1 − cos α), поэтому vₘₐₓ = √(2gl(1 − cos α)).

Ответ: максимальная скорость равна √(2gl(1 − cos α)) и достигается при прохождении положения равновесия, где кинетическая энергия наибольшая.

Типичные ошибки

Формула для больших углов. Её применяют без проверки условия малости отклонения, хотя приближение sin α ≈ α тогда уже неточно. Перед решением оцените угол и помните, что при больших амплитудах период немного увеличивается.

Зависимость периода от массы. Более тяжёлый груз действительно имеет большую силу тяжести, но его инертность возрастает во столько же раз. Проверьте формулу T = 2π√(l/g): массы в ней нет.

Неверная длина маятника. Иногда измеряют только нить или расстояние до края груза. Нужно брать расстояние от точки подвеса до центра груза и выражать его в метрах.

Путаница периода и частоты. Период показывает время одного цикла, а частота — число циклов за секунду. Самопроверка проста: записывайте ν = 1/T, причём единицы должны быть соответственно Гц и с.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужны второй закон Ньютона, разложение силы на составляющие и радианная мера угла. Закон сохранения механической энергии помогает находить скорость маятника.

Математический маятник служит основой для изучения гармонических колебаний, пружинного маятника и волновых процессов. Его используют в часах, сейсмологии и опытах по определению ускорения свободного падения.

Что запомнить

• Математический маятник — идеализированная модель груза на невесомой нерастяжимой нити.
• Возвращающей причиной движения является тангенциальная составляющая силы тяжести.
• При малых углах колебания маятника приближённо гармонические.
• Период маятника определяется формулой T = 2π√(l/g).
• При увеличении длины в четыре раза период увеличивается в два раза.
• Период не зависит от массы груза при прочих равных условиях.
• Частота равна величине, обратной периоду: ν = 1/T.