"Физика (базовый и профильный уровни)", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Гармонический осциллятор — тело, которое колеблется около положения равновесия под действием возвращающей силы, например груз на пружине. Во время движения его энергия переходит из потенциальной в кинетическую и обратно. При отсутствии потерь сумма этих энергий постоянна. Зная амплитуду, жёсткость пружины и смещение тела, можно найти полную энергию колебаний и скорость осциллятора в любой момент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия гармонического осциллятора — энергия движения тела, выражаемая формулой Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем быстрее движется тело, тем больше его кинетическая энергия; зависимость от скорости квадратичная. Эта формула позволяет определить энергию движения в любой момент колебаний.
Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая в растянутой или сжатой пружине: Eп = kx²/2. Здесь k — жёсткость пружины, а x — смещение тела от положения равновесия. Формула показывает, что энергия зависит от текущего смещения, а не только от того, насколько далеко тело может отклониться.
Полная механическая энергия гармонических колебаний — сумма кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп. Она учитывает и движение тела, и деформацию пружины. Для идеального осциллятора без потерь эта величина сохраняется, поэтому по ней можно находить скорость или смещение.
Энергия гармонических колебаний описывает, как энергия осциллятора распределена между движением и деформацией пружины. В ходе колебаний доли этих двух форм меняются, хотя полная энергия остаётся одной и той же. Такое описание помогает связать положение тела с его скоростью.
Когда тело смещается от положения равновесия, пружина растягивается или сжимается и возникает сила упругости, направленная обратно к равновесию. При смещении сила совершает работу, меняя энергию системы: энергия движения переходит в энергию деформации или наоборот. Потенциальную энергию удобно отсчитывать от равновесия, задавая ей там нулевое значение. Тогда её увеличение при отклонении равно kx²/2.
В положении равновесия смещение x равно нулю, поэтому по выбранному отсчёту Eп = 0. Тело проходит это положение быстрее всего: пружина уже не деформирована, а накопленная ранее потенциальная энергия перешла в кинетическую. Так как Eк = mv²/2, максимальная скорость означает максимальную кинетическую энергию. Слово «минимальна» для потенциальной энергии здесь означает именно нулевое значение относительно принятого уровня.
В крайних положениях тело на мгновение останавливается, прежде чем начать движение обратно, поэтому v = 0 и Eк = 0. Смещение по модулю там достигает амплитуды A, а значит, Eп = kA²/2 — своего максимума. Пружина сильнее всего деформирована именно в этих точках. Затем сила упругости разгоняет тело к равновесию, и потенциальная энергия снова переходит в кинетическую.
В промежуточном положении у осциллятора одновременно есть и скорость, и смещение, поэтому обе энергии отличны от нуля. По мере движения одна из них растёт, пока другая уменьшается. Без потерь сумма Eк + Eп не меняется: энергия не исчезает, а переходит между двумя формами. Если на систему действуют силы сопротивления, часть механической энергии рассеивается, например превращается во внутреннюю энергию, и колебания затухают.
В крайней точке смещение равно амплитуде, поэтому полная энергия E = kA²/2. Для пружинного осциллятора k = mω², где ω — циклическая частота, и ту же энергию можно записать как E = mω²A²/2. В формуле используется именно амплитуда, потому что она задаёт максимальное смещение. Квадрат A означает, что при увеличении амплитуды вдвое энергия становится в четыре раза больше.
| Вид энергии | Формула | Когда максимальна | Когда минимальна |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | В положении равновесия, x = 0 | В крайних положениях, x = ±A |
| Потенциальная энергия | Eп = kx²/2 | В крайних положениях, x = ±A | В положении равновесия, x = 0 |
| Полная механическая энергия | E = Eк + Eп = kA²/2 | Постоянна при отсутствии потерь | Постоянна при отсутствии потерь |
Сначала определите, какую энергию требуется найти и в каком положении находится тело. Для кинетической энергии нужны скорость, для потенциальной — текущее смещение; полную энергию удобно находить через амплитуду. В строке полной энергии «максимальна» и «минимальна» не описывают отдельные положения: при идеальных колебаниях она постоянна.
Груз на пружине жёсткостью 200 Н/м колеблется с амплитудой 0,10 м. Найдём полную энергию. В крайней точке скорость равна нулю, поэтому вся энергия является потенциальной, а смещение по модулю равно амплитуде. Значит, подходит формула E = kA²/2.
Ответ: полная энергия равна 1 Дж. Квадрат амплитуды обязателен, иначе результат будет неверным и по размерности, и по численному значению.
Полная энергия осциллятора равна 0,40 Дж, жёсткость пружины — 200 Н/м. Требуется определить амплитуду. В выражении E = kA²/2 известны энергия и жёсткость, поэтому нужно выразить A; амплитуда берётся положительной, так как это максимальный модуль смещения.
Ответ: амплитуда примерно равна 0,063 м, или 6,3 см. Перед извлечением корня проверьте, что под ним получилось значение в квадратных метрах.
Груз массой 0,50 кг колеблется на пружине жёсткостью 200 Н/м с амплитудой 0,10 м. Найдём скорость при смещении 0,06 м. Сначала определим полную энергию по амплитуде, затем вычтем энергию деформации при заданном смещении. Оставшаяся энергия является кинетической.
Ответ: модуль скорости равен 1,6 м/с. Знак скорости определить нельзя: он зависит от того, движется ли груз в сторону равновесия или от него.
Ошибочно считать полную энергию максимальной в крайних положениях. Там максимальна только потенциальная энергия, а кинетическая равна нулю; сумма остаётся постоянной. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено на одной форме энергии. Проверьте себя, сложив Eк и Eп в любом положении.
В формулу Eп = kx²/2 иногда подставляют амплитуду, даже если спрашивают энергию в промежуточной точке. Амплитуда подходит для полной энергии или для потенциальной энергии в крайнем положении, а в общем случае нужно текущее смещение x. Чтобы проверить выбор, сравните указанное в задаче положение с крайним. Если оно не крайнее, используйте именно заданное смещение.
Кинетическую энергию ошибочно принимают за максимальную в крайней точке, потому что там максимален модуль смещения. Но крайняя точка — момент остановки: v = 0, следовательно, Eк = 0. При проверке сопоставьте формулу Eк = mv²/2 с условием о скорости и не путайте её с потенциальной энергией.
Ещё одна ошибка — забыть квадрат смещения или амплитуды. Она возникает при спешке или при переносе формулы без проверки, но приводит к неверной зависимости энергии от величины отклонения. Перед вычислениями запишите Eп = kx²/2 или E = kA²/2 полностью. Проверить результат можно по размерности: в выражении должен присутствовать квадрат длины.
Для этой темы нужны формулы кинетической энергии, работы силы упругости и закон сохранения механической энергии. Знание этих идей помогает объяснить не только вычисления, но и сам переход энергии между формами. Связь полной энергии с амплитудой и параметрами осциллятора пригодится при изучении колебательных систем и резонанса. Представление об энергетических превращениях также помогает анализировать потери и затухающие колебания, когда механическая энергия системы уменьшается.
Почему полная энергия не меняется, хотя скорость тела постоянно меняется?
Скорость меняется, поэтому изменяется кинетическая энергия, но одновременно меняется и потенциальная энергия пружины. При идеальных колебаниях одна форма энергии переходит в другую, а их сумма остаётся постоянной.
В каком положении кинетическая энергия осциллятора максимальна?
В положении равновесия, где смещение равно нулю. Там скорость тела максимальна, поэтому максимальна и его кинетическая энергия.
Почему потенциальную энергию пружины считают равной нулю в положении равновесия?
Потенциальную энергию отсчитывают от выбранного нулевого уровня, которым обычно служит положение равновесия. При смещении на x энергия упругой деформации равна kx²/2.
Как найти скорость тела, если известны его смещение и полная энергия?
Из полной энергии вычтите потенциальную: Eк = E − kx²/2. Затем используйте Eк = mv²/2, откуда модуль скорости равен √(2Eк/m).
Во сколько раз изменится полная энергия, если амплитуду увеличить вдвое?
Полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды: E = kA²/2. При увеличении амплитуды вдвое энергия возрастёт в четыре раза.
§ 17. Энергия гармонических колебаний
