§ 18. Вынужденные колебания

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. В отличие от свободных колебаний, они не поддерживаются только первоначально сообщённой системе энергией. Внешнее воздействие нужно, чтобы восполнять потери энергии и сохранять движение.

Вынуждающая сила — периодическая сила, которая действует на колебательную систему и задаёт ритм воздействия. Её основные параметры — амплитуда, то есть наибольшее значение силы, и частота, показывающая, сколько циклов воздействия происходит за единицу времени. Эти параметры помогают понять, насколько интенсивно и с каким темпом сила передаёт энергию.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте системы. Собственная частота — частота, с которой система колебалась бы свободно при отсутствии внешнего воздействия. Резонанс объясняет, почему сравнительно небольшая периодическая сила иногда вызывает заметное движение.

Резонансная частота — частота внешней силы, при которой амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает максимума. При слабом затухании она близка к собственной частоте, но при заметном затухании максимум может сместиться и становится менее выраженным. Это понятие позволяет оценить, при каком ритме воздействия система реагирует сильнее всего.

Как это устроено

Периодическая внешняя сила совершает работу над системой: в одни моменты она ускоряет движение, а в другие может действовать против него. Передаваемая энергия компенсирует ту часть энергии колебаний, которая рассеивается из-за трения и других причин затухания. Поэтому при подходящем воздействии колебания не исчезают, а продолжаются. Если сила перестаёт действовать, энергия больше не восполняется и движение постепенно затухает.

Сразу после включения силы движение может содержать две составляющие: вынужденную и переходную, связанную с собственными свойствами системы. Переходная составляющая со временем уменьшается из-за затухания. Остаётся установившееся движение, которое подстраивается под повторяющиеся толчки внешней силы. Поэтому его частота совпадает с частотой воздействия, даже если собственная частота системы другая.

Амплитуда установившихся колебаний определяется не одним параметром. Чем больше амплитуда вынуждающей силы, тем больше энергии она может передать за цикл, но результат также зависит от частоты, с которой эта энергия поступает. Значение собственной частоты показывает, как система отвечает на воздействие, а затухание описывает потери энергии. Поэтому две системы при одинаковой силе могут колебаться с разными амплитудами.

Когда частота внешней силы близка к собственной частоте системы, сила особенно эффективно передаёт энергию колебаниям. При удачном совпадении ритмов каждый новый цикл воздействия усиливает движение, а не просто меняет направление силы в случайный момент. Энергия накапливается, и амплитуда становится больше. Это резонанс; чем ближе частота к области максимального отклика, тем заметнее рост амплитуды.

Затухание ограничивает рост амплитуды, потому что часть полученной энергии непрерывно теряется. При сильном затухании резонансный максимум невысок и растянут по частотам, поэтому отклик меняется более плавно. При слабом затухании потери меньше, пик выше и резонанс выражен отчётливее. Таким образом, затухание не отменяет резонанс, но определяет его силу и максимальную амплитуду.

Свободные и вынужденные колебания

В таблице сопоставлены причины возникновения колебаний, источник энергии и характеристики движения. Для определения типа колебаний прежде всего спросите себя, действует ли на систему периодическая сила. Затем сравните, что задаёт частоту и от каких условий зависит амплитуда.

Разбор задач

1. Пружина под действием периодической силы

На тело, соединённое с пружиной, действует периодическая сила. Нужно определить тип возникающих колебаний и выяснить, что задаёт их частоту. По условию система получает внешнее повторяющееся воздействие, а значит, движение поддерживается не только первоначальным отклонением.

1. Определяем причину движения: на тело действует периодическая внешняя сила.
2. Сравниваем причину с определениями: колебания, поддерживаемые такой силой, являются вынужденными.
3. Учитываем установившийся режим: после затухания переходной составляющей частота колебаний совпадает с частотой внешней силы.

Ответ: колебания вынужденные; их установившуюся частоту задаёт частота периодической силы. Собственная частота пружинной системы влияет на амплитуду и на условия резонанса, но не определяет частоту установившегося движения.

2. Две частоты внешнего воздействия

Собственная частота системы известна, а амплитуды нужно сравнить для двух частот внешней силы. Одна из частот близка к собственной, другая находится дальше от неё. Численных значений не дано, поэтому сравнение проводят качественно, учитывая, что обе силы действуют на одну систему.

1. Находим, какая частота ближе к собственной частоте системы: по условию это первая из указанных частот.
2. Вспоминаем, что при приближении к резонансной области энергия передаётся колебаниям эффективнее и амплитуда растёт.
3. Сравниваем отклики: при близкой частоте амплитуда обычно больше, если прочие условия, в том числе сила и затухание, одинаковы.

Ответ: большая амплитуда ожидается при частоте воздействия, близкой к собственной частоте; в этом случае проявляется резонанс. Точное сравнение невозможно без сведений о затухании и параметрах воздействия, но при одинаковых условиях близость к резонансу означает более сильный отклик.

3. Одинаковые системы с разным затуханием

Две одинаковые системы испытывают периодическое воздействие близкой к резонансной частоты, но затухание в них различно. Требуется сравнить установившиеся амплитуды. Так как системы одинаковы и частота воздействия одна и та же, решающим различием становится величина потерь энергии.

1. Устанавливаем, что обе системы находятся в области резонанса, поэтому амплитуды в обеих могут быть повышенными.
2. Сравниваем затухание: система с меньшим затуханием теряет меньше энергии за цикл.
3. Делаем вывод: при одинаковом воздействии меньшие потери позволяют накопить большую амплитуду.

Ответ: большая установившаяся амплитуда будет у системы с меньшим затуханием. У системы с большим затуханием резонансный отклик слабее, потому что большая доля переданной энергии рассеивается.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Так можно подумать, потому что собственная частота характеризует саму систему, но в установившемся режиме ритм задаёт внешнее воздействие. Проверьте себя: найдите, какая сила повторяется периодически, и сравните её частоту с частотой движения.

Ошибка: называть резонансом любые вынужденные колебания. Вынужденное движение действительно создаёт внешняя сила, но резонанс — лишь особый случай, когда частота воздействия близка к резонансной и амплитуда заметно возрастает. Чтобы проверить ответ, спросите, есть ли рост амплитуды из-за близости частот, а не только внешняя сила.

Ошибка: утверждать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Такой вывод получается, если мысленно исключить потери энергии, однако реальные системы испытывают затухание и не могут бесконечно накапливать энергию. Проверка проста: учтите рассеяние энергии и ограниченность реальной системы — тогда амплитуда будет конечной.

Ошибка: связывать амплитуду только с силой воздействия. Сила важна, но отклик зависит также от её частоты, собственной частоты системы и затухания. Для самопроверки перечислите все эти условия: если в сравнении систем учтена только сила, данных для вывода об амплитуде недостаточно.

Связь с другими темами

Для понимания вынужденных колебаний нужны знания о свободных колебаниях, собственной частоте, периоде, амплитуде и затухании. Эти понятия помогают отличить источник движения от его характеристик и объяснить, почему энергия постепенно теряется. Тема пригодится при изучении резонанса в механических и электрических системах. Она также помогает понять работу колебательных устройств и учитывать опасные колебания в технике.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются периодической внешней силой.
• В установившемся режиме частота колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• Амплитуда зависит от частоты и силы воздействия, а также от свойств системы и затухания.
• При близости частоты воздействия к собственной частоте амплитуда возрастает.
• Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний.
• Затухание ограничивает резонансную амплитуду.