§ 19. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь, в которой соединены конденсатор и катушка индуктивности. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — магнитного. Контур нужен для возникновения и поддержания электрических колебаний.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока, происходящие в контуре после начального воздействия, без непрерывной работы внешнего периодического источника. Их называют свободными, потому что дальше контур изменяет своё состояние за счёт запасённой энергии.

Период T — время одного полного повторения колебания, измеряется в секундах; частота ν — число колебаний за секунду, ν = 1/T. Собственная циклическая частота ω₀ показывает скорость изменения фазы и измеряется в рад/с. Эти величины помогают описать быстроту колебаний.

Заряд конденсатора обозначают q, ёмкость — C, индуктивность катушки — L, силу тока — I. В идеальном контуре период определяется формулой T = 2π√(LC), а собственная циклическая частота — ω₀ = 1/√(LC). Эти обозначения позволяют связать устройство цепи с параметрами её колебаний.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, например, от источника напряжения, а затем отключают источник и замыкают контур через катушку. В начальный момент заряд на обкладках максимален, поэтому максимально и электрическое поле конденсатора. Ток ещё не течёт, а энергия сосредоточена в электрическом поле. Начальное воздействие необходимо, чтобы передать контуру энергию и вывести его из равновесия.

После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться через катушку. Из-за напряжения возникает ток, но его рост не происходит мгновенно: катушка препятствует быстрому изменению тока и создаёт ЭДС самоиндукции. Поэтому ток продолжает нарастать даже тогда, когда заряд конденсатора уже уменьшился. Энергия электрического поля при этом передаётся магнитному полю катушки.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток достигает максимума. Однако он не исчезает сразу: магнитное поле катушки начинает уменьшаться, а ЭДС самоиндукции поддерживает ток прежнего направления. Ток перезаряжает конденсатор, и на его обкладках появляется заряд противоположного знака. Так магнитная энергия снова превращается в электрическую.

Затем процесс повторяется в обратном направлении: заряженный конденсатор разряжается, ток меняет направление, а заряд возвращается к исходному знаку. В идеальном контуре энергия не теряется, поэтому колебания продолжаются без изменения амплитуды. Реальная катушка и соединительные провода имеют сопротивление; часть энергии превращается в тепло, из-за чего амплитуда постепенно уменьшается. Такие колебания называют затухающими.

Для идеального контура заряд изменяется по гармоническому закону q = qₘ cos(ω₀t + φ), где qₘ — наибольший заряд, а φ задаёт состояние колебаний в начальный момент. Сила тока связана с зарядом соотношением I = dq/dt, поэтому её максимум наступает не одновременно с максимумом заряда. Изменение ёмкости или индуктивности меняет период: увеличение любого из этих параметров делает колебания более медленными.

Величины и зависимости

Для расчёта сначала выпишите известные величины и приведите их к единицам СИ: C — к фарадам, L — к генри. Затем выберите формулу для искомого параметра; например, период можно найти непосредственно по L и C. Если нужно определить частоту, сначала найдите период или воспользуйтесь выражением ν = 1/(2π√(LC)).

Разбор задач

Задача. Идеальный колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью 4 мкФ и катушку индуктивностью 25 мГн. Найдите период и частоту свободных колебаний. Перед вычислениями переведите величины в основные единицы: иначе произведение LC и ответ окажутся неверными. Удобно отдельно вычислить период, а затем использовать связь частоты с периодом.

1. Запишем данные в СИ. Ёмкость C = 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф, индуктивность L = 25 мГн = 25 · 10⁻³ Гн. Перевод в СИ обязателен, потому что формула Томсона записана для фарад и генри. Искомые величины — T и ν.

2. Выберем формулу периода. Для идеального контура T = 2π√(LC). Подставление чисел даёт произведение LC = 25 · 10⁻³ · 4 · 10⁻⁶ = 100 · 10⁻⁹ = 10⁻⁷ с². Единица результата под корнем — секунда, поэтому период получится в секундах.

3. Вычислим период. T = 2π√(10⁻⁷) ≈ 6,28 · 3,16 · 10⁻⁴ с ≈ 1,99 · 10⁻³ с. Округляя, получаем около 2,0 мс. Такой порядок величины соответствует нескольким тысячам колебаний в секунду.

4. Найдём частоту. Частота ν = 1/T, поэтому ν ≈ 1/(1,99 · 10⁻³ с) ≈ 503 Гц. Проверка: период около двух тысячных секунды означает примерно 500 колебаний за секунду, что согласуется с результатом. Ответ: T ≈ 2,0 мс, ν ≈ 5,0 · 10² Гц.

Типичные ошибки

• Подставлять микрофарады и миллигенри как обычные числа. Тогда период отличается от правильного на несколько порядков. Ошибка возникает из-за того, что приставки «микро» и «милли» легко упустить при вычислении. Проверьте себя: перед подстановкой запишите C в фарадах, а L — в генри.

• Путать частоту и циклическую частоту. Частота ν измеряется в герцах, а ω₀ — в радианах в секунду; между ними есть множитель 2π: ω₀ = 2πν. Проверка проста: в формуле периода T = 2π√(LC) числитель 2π нельзя терять, если вычисляете период.

• Считать, что ток максимален одновременно с зарядом. При максимальном заряде конденсатор на мгновение не разряжается, поэтому ток равен нулю; максимальный ток возникает при нулевом заряде. Такую ошибку допускают, представляя процесс как обычное движение заряда без учёта самоиндукции. Сверьте момент с переходом энергии: максимум электрической энергии соответствует нулевой магнитной.

• Считать свободные колебания вечными в реальной цепи. В сопротивлении часть энергии превращается в тепло, поэтому амплитуда убывает. Идеальная модель полезна для вывода формул, но реальная цепь не лишена потерь. При проверке уточните, говорится ли в задаче об идеальном контуре или о затухании.

Связь с другими темами

Свободные электромагнитные колебания похожи на механические колебания груза на пружине: энергия попеременно переходит между двумя видами, а параметры системы задают период. В электрическом контуре роль инерционности играет индуктивность, а ёмкость определяет способность конденсатора накапливать заряд. Понимание самоиндукции помогает объяснить, почему ток в катушке не меняется мгновенно.

Затухание связано с законом сохранения энергии: в реальной цепи энергия не исчезает, а рассеивается, главным образом превращаясь в тепло. Колебательный контур также служит основой для изучения вынужденных колебаний и резонанса, когда на цепь действует внешний периодический сигнал. Эти понятия применяются при передаче и приёме электромагнитных волн.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального воздействия и далее происходят за счёт энергии, запасённой в контуре.

• Электрическая энергия конденсатора и магнитная энергия катушки периодически превращаются друг в друга.

• Для идеального контура T = 2π√(LC), ν = 1/T, ω₀ = 1/√(LC).

• В реальном контуре сопротивление вызывает потери энергии и затухание колебаний.

• Перед расчётом переводи ёмкость в фарады, а индуктивность — в генри.