1. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока, напряжения и энергии в замкнутой электрической цепи после начального возбуждения без внешнего периодического воздействия. Иными словами, цепь получает энергию один раз, а затем колеблется самостоятельно. Это понятие позволяет отличать такие колебания от вынужденных.

Колебательный контур — замкнутая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Обозначим электроёмкость конденсатора через C, а индуктивность катушки — через L.

Период электромагнитных колебаний — время одного полного цикла изменения электрических и магнитных величин. Он обозначается буквой T и измеряется в секундах. За один период система возвращается в прежнее состояние: заряд, ток и энергии принимают те же значения.

Формула Томсона задаёт период собственных колебаний контура: T = 2π√(LC). Она связывает длительность колебаний с устройством контура. По ней можно заранее определить период и частоту, если известны L и C.

Как это устроено

Конденсатор и катушку соединяют проводниками в замкнутую цепь, причём сопротивлением проводов в идеальной модели пренебрегают. Чтобы началось движение зарядов, конденсатор предварительно заряжают: на его обкладках появляется разность потенциалов и запасается энергия. Если просто соединить незаряженные элементы, заметного колебательного процесса не возникнет, потому что системе нечего превращать из одной формы энергии в другую.

После замыкания цепи конденсатор начинает разряжаться, поэтому в проводнике появляется ток. Этот ток проходит через катушку и создаёт вокруг неё магнитное поле. При изменении тока изменяется и магнитное поле, а возникающая электродвижущая сила самоиндукции препятствует резкому изменению тока, поэтому он не достигает максимума мгновенно.

Сначала почти вся энергия находится в электрическом поле заряженного конденсатора. Во время разряда электрическая энергия уменьшается, а магнитная энергия катушки растёт; при полном разряде конденсатора ток максимален и энергия сосредоточена в катушке. Затем самоиндукция поддерживает ток в прежнем направлении, и он перезаряжает конденсатор, пока энергия снова не станет электрической, но заряд на обкладках окажется противоположным.

В идеальном контуре заряд изменяется по гармоническому закону q = Q cos(ωt), а ток равен производной заряда: I = dq/dt = −ωQ sin(ωt). Поэтому максимальный по модулю заряд достигается тогда, когда ток равен нулю, а максимальный ток — когда заряд проходит через ноль. Такой сдвиг на четверть периода связан с тем, что ток показывает скорость изменения заряда.

Формулу Томсона получают, сравнивая колебательный контур с механическим гармоническим осциллятором или решая уравнение для заряда: циклическая частота равна ω = 1/√(LC). Так как T = 2π/ω, получаем T = 2π√(LC). При увеличении L ток изменяется медленнее из-за более сильной самоиндукции, а при увеличении C требуется больше времени для его перезарядки, поэтому в обоих случаях период возрастает.

Основные величины и превращения энергии в колебательном контуре

Таблицу удобно читать сверху вниз, отслеживая, как изменяются заряд и ток после замыкания цепи. В каждой четверти цикла одна форма энергии уменьшается, а другая увеличивается. Если в идеальном контуре сумма энергий в выбранный момент не равна полной постоянной энергии, значит, допущена ошибка.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 4 мкФ и катушка индуктивностью 25 мГн образуют идеальный контур. Требуется найти период и частоту. Сначала переводим величины в СИ, затем применяем формулу Томсона.

1. L = 25 мГн = 0,025 Гн, C = 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф.
2. T = 2π√(LC) = 2π√(0,025 · 4 · 10⁻⁶) ≈ 1,99 · 10⁻³ с.
3. ν = 1/T ≈ 1/(1,99 · 10⁻³) ≈ 503 Гц.

Ответ: T ≈ 2,0 мс, ν ≈ 5,0 · 10² Гц.

Задача 2. В начальный момент заряд конденсатора q = 2 мКл, а энергия его электрического поля W = 0,4 Дж. Нужно найти C и максимальный ток при L = 0,1 Гн. Используем энергию конденсатора и сохранение полной энергии.

1. W = q²/(2C), поэтому C = q²/(2W) = (2 · 10⁻³)²/0,8 = 5 · 10⁻⁶ Ф.
2. В момент максимального тока вся энергия равна магнитной: W = LI_max²/2.
3. I_max = √(2W/L) = √(0,8/0,1) = √8 ≈ 2,83 А.

Ответ: C = 5 мкФ, I_max ≈ 2,83 А.

Задача 3. Заряд изменяется по закону q = Q cos(ωt). Требуется записать закон для тока, определить моменты максимумов и найти период. Ток находим как скорость изменения заряда.

1. I = dq/dt = −ωQ sin(ωt).
2. Максимальный заряд по модулю бывает при ωt = πk, где k ∈ Z; в эти моменты ток равен нулю.
3. Максимальный по модулю ток бывает при ωt = π/2 + πk, где k ∈ Z; тогда заряд равен нулю.
4. Из ω = 2π/T получаем T = 2π/ω.

Ответ: I = −ωQ sin(ωt); |q| максимально при ωt = πk, |I| максимально при ωt = π/2 + πk, период T = 2π/ω.

Типичные ошибки

Подмена свободных колебаний вынужденными. Свободный процесс не требует внешнего периодического источника после начального заряда конденсатора. Ошибку допускают, когда любое переменное напряжение называют свободным; проверьте, есть ли в условии действующий периодический источник.

Неверное применение формулы Томсона. Величины L и C подставляют без перевода миллигенри и микрофарад в генри и фарады. Перед вычислением запишите единицы СИ и оцените порядок результата: для обычного контура период обычно получается малым, но не из-за случайного множителя перевода.

Одновременный максимум заряда и тока. Максимальный заряд означает остановку перезарядки, поэтому ток в этот момент равен нулю. Максимальный ток соответствует нулевому заряду; проверить себя можно по законам q = Q cos(ωt) и I = −ωQ sin(ωt).

Нарушение закона сохранения энергии. При переходе от конденсатора к катушке энергия не исчезает, а меняет форму. Сложите электрическую и магнитную энергии в любой момент: в идеальном контуре их сумма должна оставаться постоянной.

Связь с другими темами

Для изучения контура нужны закон сохранения энергии, понятия электроёмкости, индуктивности, напряжения и силы тока. Модель свободных колебаний подготавливает переход к переменному току, вынужденным колебаниям и резонансу. Те же процессы помогают понять работу радиопередатчиков, приёмников и электрических фильтров.

Что запомнить

• Свободные электромагнитные колебания происходят в контуре без внешнего периодического воздействия.
• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется.
• Заряд и сила тока изменяются гармонически и сдвинуты по фазе на четверть периода.
• Период определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Частота колебаний равна величине, обратной периоду: ν = 1/T.