§11. Колебательный контур

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь с конденсатором и катушкой индуктивности, в которой могут происходить электромагнитные колебания. Конденсатор отвечает за электрическую энергию, а катушка — за магнитную. Это основная система для изучения периодического изменения заряда и тока.

Собственные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и тока после первоначального возбуждения без внешнего периодического воздействия. Они возникают благодаря свойствам самого контура. Поэтому по ним можно понять, как система колеблется при заданных L и C.

Период собственных колебаний — время, за которое состояние идеального контура повторяется; он обозначается T. За один период заряд, ток и энергия возвращаются к прежним значениям. Период измеряется в секундах и показывает длительность одного полного цикла.

Формула Томсона — соотношение T = 2π√(LC), определяющее период собственных колебаний идеального контура через индуктивность L и ёмкость C. Индуктивность измеряют в генри, ёмкость — в фарадах. Формула позволяет заранее вычислить быстроту колебаний контура.

Как это устроено

Сначала конденсатор подключают к источнику и заряжают, а затем источник отключают и замыкают контур. На обкладках появляется противоположный заряд, поэтому между ними возникает электрическое поле. В этом поле сосредоточен начальный запас энергии Wₑ = q²/(2C).

После замыкания цепи между обкладками действует напряжение, и электроны начинают двигаться по проводнику через катушку. Возникающий ток создаёт магнитное поле катушки, поэтому энергия постепенно переходит из электрической формы в магнитную. Чем меньше заряд остаётся на конденсаторе, тем меньше его электрическая энергия и тем больше ток.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток не исчезает мгновенно. Изменение тока вызывает ЭДС самоиндукции, направленную против этого изменения, поэтому катушка поддерживает движение зарядов. Ток продолжает течь и перезаряжает конденсатор, но уже с противоположной полярностью.

После перезарядки ток постепенно уменьшается, а энергия магнитного поля снова превращается в энергию электрического поля конденсатора. Затем процесс повторяется в обратном направлении. В идеальном контуре сопротивление отсутствует, поэтому энергия не рассеивается в виде теплоты.

Период определяется не начальным зарядом, а параметрами контура: индуктивностью и ёмкостью. Из формулы Томсона T = 2π√(LC) видно, что увеличение L или C увеличивает период. Следовательно, колебания становятся медленнее, а частота ν = 1/T уменьшается.

Величины и соотношения в идеальном колебательном контуре

Сначала определите, какая величина дана и какая требуется, затем выберите строку с подходящим соотношением. Следите за единицами: L подставляют в генри, C — в фарады, q — в кулоны.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор имеет ёмкость C = 20 мкФ и напряжение U = 10 В. Требуется найти модуль заряда на его обкладках. Используем связь q = CU.

1. Переведём ёмкость: C = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставим значения: q = 20 · 10⁻⁶ · 10 = 2 · 10⁻⁴ Кл.
3. При необходимости выразим результат в микрокулонах: q = 200 мкКл.

Ответ: модуль заряда равен 2 · 10⁻⁴ Кл, или 200 мкКл.

Задача 2

Дано L = 0,20 Гн и C = 50 мкФ. Нужно найти период и частоту собственных колебаний. Для периода применяем формулу Томсона, а частоту находим как ν = 1/T.

1. Переведём ёмкость: C = 50 · 10⁻⁶ Ф.
2. Вычислим произведение: LC = 0,20 · 50 · 10⁻⁶ = 10⁻⁵ с².
3. Получим T = 2π√(10⁻⁵) ≈ 1,99 · 10⁻² с.
4. Найдём частоту: ν ≈ 1/(1,99 · 10⁻²) ≈ 50,3 Гц.

Ответ: T ≈ 0,0199 с, ν ≈ 50,3 Гц.

Задача 3

Максимальный заряд равен q_max = 4 мкКл, период T = 2 мс. Требуется найти максимальную силу тока. Свяжем данные формулой I_max = ωq_max, где ω = 2π/T.

1. Переведём величины: q_max = 4 · 10⁻⁶ Кл, T = 2 · 10⁻³ с.
2. Вычислим угловую частоту: ω = 2π/(2 · 10⁻³) = 1000π рад/с.
3. Подставим заряд: I_max = 1000π · 4 · 10⁻⁶ ≈ 0,0126 А.

Ответ: максимальная сила тока примерно равна 1,26 · 10⁻² А, или 12,6 мА.

Типичные ошибки

Ток считают прекращающимся сразу после разрядки. Так ошибаются, потому что связывают ток только с наличием заряда на конденсаторе. Проверка: вспомните самоиндукцию — ток продолжается и перезаряжает конденсатор.

Считают, что энергия исчезает при разрядке конденсатора. Ошибка возникает из-за невидимости магнитного поля катушки. Проверка: в идеальном контуре при уменьшении W_э должна возрастать W_м, а их сумма остаётся постоянной.

Подставляют микрофарады или миллигенри без перевода в СИ. Это даёт неверный период, потому что формула Томсона рассчитана на фарады и генри. Проверка: перед вычислением выпишите все единицы и замените приставки степенями десяти.

Путают период и частоту. Причина — обе величины описывают быстроту колебаний, но период измеряется в секундах, а частота — в герцах. Проверка: используйте обратную связь ν = 1/T.

Связь с другими темами

Для понимания контура нужны знания о ёмкости конденсатора, связи q = CU и энергии электрического поля. Они объясняют, откуда берётся начальный запас энергии и как он зависит от заряда.

Также необходимы представления об электромагнитной индукции и самоиндукции. Энергия магнитного поля катушки показывает, почему ток не обрывается мгновенно.

Колебательный контур служит моделью для последующего изучения переменного тока, резонанса и других электрических колебательных систем. Формула Томсона помогает сравнивать их собственные частоты.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Колебания возникают из-за взаимного превращения электрической и магнитной энергии.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется.
• Заряд конденсатора и сила тока изменяются периодически.
• Период собственных колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• При увеличении L или C период колебаний увеличивается.