§ 11. Колебательный контур

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — магнитного. Именно их взаимодействие создаёт условия для электромагнитных колебаний.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после первоначального сообщения контуру энергии. Внешний источник во время этих колебаний уже не поддерживает процесс. Понятие помогает отличить собственные колебания системы от вынужденных.

Собственная частота — частота свободных колебаний, определяемая параметрами конкретного контура. Она зависит от ёмкости конденсатора и индуктивности катушки, а не от случайного выбора начального заряда. По ней можно предсказать быстроту изменения тока и напряжения.

Идеальный колебательный контур — модель без электрического сопротивления. В ней энергия не превращается во внутреннюю энергию проводников, поэтому колебания не затухают. Такая модель позволяет увидеть основные закономерности процесса.

Как это устроено

Сначала конденсатор подключают к источнику постоянного напряжения и заряжают: на его обкладках появляются равные по модулю противоположные заряды. Между обкладками возникает электрическое поле, в котором запасается энергия Wэ = q²/(2C). После отключения источника эта энергия становится начальным запасом для движения заряда в замкнутом контуре.

При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку, поэтому в цепи появляется ток. Но ток через катушку не может измениться мгновенно: его рост создаёт изменяющееся магнитное поле, а возникающая ЭДС самоиндукции противодействует этому изменению. Поэтому катушка как бы поддерживает продолжение процесса даже тогда, когда конденсатор уже почти разряжен.

По мере разрядки конденсатора электрическая энергия уменьшается, а энергия магнитного поля катушки Wм = LI²/2 увеличивается. Когда заряд становится нулевым, ток достигает максимума и почти вся энергия находится в магнитном поле. Затем магнитное поле начинает ослабевать и поддерживает ток в том же направлении, заставляя конденсатор зарядиться с обратной полярностью.

После перезарядки ток останавливается, но процесс не заканчивается: теперь электрическое поле снова обладает максимальной энергией. Оно начинает разряжать конденсатор в обратном направлении, и последовательность повторяется. Так энергия по очереди переходит из электрической формы в магнитную и обратно.

Для идеального контура заряд описывают законом q = qₘₐₓ cos(ωt + φ), а силу тока находят как производную I = dq/dt = −ωqₘₐₓ sin(ωt + φ). Из уравнения колебаний получают ω = 1/√(LC), поэтому T = 2π/ω = 2π√(LC), а ν = 1/T. Заряд и ток меняются с одной частотой, но достигают экстремумов в разные моменты.

Основные величины и соотношения колебательного контура

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти, а затем выберите строку с подходящей формулой. Для проверки единиц учитывайте: L измеряется в генри, C — в фарадах, а произведение LC имеет размерность с². Энергии конденсатора и катушки нужно складывать только в один и тот же момент времени.

Разбор задач

Задача 1

Условие: C = 2 мкФ, L = 0,5 Гн. Найти T и ν для идеального контура.

1. Переведём ёмкость: C = 2·10⁻⁶ Ф.
2. По формуле Томсона T = 2π√(LC) = 2π√(0,5·2·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,28·10⁻³ с.
3. Частота обратна периоду: ν = 1/T ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц.

Задача 2

Условие: qₘₐₓ = 4 мкКл, Iₘₐₓ = 0,2 А. Найти ω и L.

1. Из связи амплитуд Iₘₐₓ = ωqₘₐₓ получаем ω = Iₘₐₓ/qₘₐₓ = 0,2/(4·10⁻⁶) = 5·10⁴ с⁻¹.
2. Для индуктивности закон сохранения энергии даёт qₘₐₓ²/C = LIₘₐₓ². Но ёмкость C в условии не указана.
3. Поэтому L однозначно найти нельзя; можно определить только LC = 1/ω² = 4·10⁻¹⁰ с². Для вычисления L нужно дополнительно знать C.

Ответ: ω = 5·10⁴ с⁻¹; индуктивность по данным задачи не определяется однозначно.

Задача 3

Условие: q = 6·10⁻⁶ cos(400t) Кл. Найти T, Iₘₐₓ и q при t = π/800 с.

1. Сравнивая закон с q = qₘₐₓ cos(ωt), получаем qₘₐₓ = 6·10⁻⁶ Кл и ω = 400 с⁻¹.
2. Период T = 2π/ω = 2π/400 = π/200 с ≈ 0,0157 с. Максимальный ток Iₘₐₓ = ωqₘₐₓ = 400·6·10⁻⁶ = 2,4·10⁻³ А.
3. При заданном времени ωt = 400·π/800 = π/2, поэтому q = 6·10⁻⁶ cos(π/2) = 0.

Ответ: T ≈ 0,0157 с, Iₘₐₓ = 2,4 мА, q = 0.

Типичные ошибки

Путают период и частоту. Период T — время одного цикла, а частота ν показывает число циклов за секунду. Проверка проста: их произведение должно быть равно единице, ν = 1/T.

Забывают множитель 2π в формуле Томсона. Так происходит, когда период смешивают с циклической частотой: ω = 1/√(LC), но T = 2π/ω. Перед вычислением выпишите, какая именно величина требуется.

Считают, что ток прекращается при полной разрядке конденсатора. В этот момент электрическая энергия уже перешла в магнитную, поэтому катушка поддерживает ток и перезаряжает конденсатор. Если q = 0, ожидайте максимальный, а не нулевой ток.

Складывают максимальные энергии как одновременные. Максимум Wэ бывает при максимальном заряде, а максимум Wм — при максимальном токе, и это разные моменты. Закон сохранения записывают для одного момента: W = Wэ + Wм.

Связь с другими темами

Для изучения контура нужны формулы ёмкости и индуктивности, выражения для энергии электрического и магнитного полей, а также связь I = dq/dt. Эти знания показывают, откуда берутся параметры колебательной системы.

Модель контура опирается на гармонические механические колебания: в обеих системах энергия переходит между двумя формами. Идеи собственной частоты и обмена энергией применяются при изучении переменного тока, резонанса, радиосвязи и электромагнитных волн.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Свободные колебания возникают после сообщения контуру начальной энергии.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Собственная частота зависит от ёмкости конденсатора и индуктивности катушки.
• Заряд и сила тока колеблются с одинаковой частотой, но сдвинуты по фазе на π/2.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется, а в реальном колебания затухают.