§ 11. Колебательный контур

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Их соединение создаёт условия для периодического обмена энергией.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после начального возбуждения без внешнего источника. Начальным возбуждением обычно служит предварительная зарядка конденсатора. Такие колебания позволяют изучать собственные свойства контура.

Индуктивность — величина, характеризующая способность катушки создавать магнитное поле и препятствовать изменению тока. Она обозначается L и измеряется в генри. Чем больше L, тем медленнее изменяется ток и тем больше период собственных колебаний.

Формула Томсона связывает период свободных колебаний с ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки: T = 2π√(LC). С её помощью находят время одного полного цикла, а затем частоту и циклическую частоту.

Как это устроено

Чтобы получить замкнутый контур, конденсатор соединяют с катушкой проводниками. Если конденсатор не заряжен, заметного начального запаса энергии нет, поэтому колебания не возникают сами собой. Предварительная зарядка создаёт разность потенциалов и запас энергии электрического поля, с которого начинается процесс.

После соединения конденсатор начинает разряжаться, поэтому в цепи появляется ток. Ток создаёт магнитное поле катушки, а его изменение вызывает ЭДС самоиндукции, направленную против изменения тока. Благодаря этому ток не исчезает мгновенно после полной разрядки конденсатора и продолжает перезаряжать его с противоположной полярностью.

В начале процесса энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора: Wₑ = CU²/2. Когда конденсатор разряжается, эта энергия переходит в магнитное поле катушки: Wₘ = LI²/2. Затем обратный переход повторяется, поэтому в идеальном контуре полная энергия W = Wₑ + Wₘ остаётся постоянной.

В идеальном контуре заряд можно записать как q = qₘ cos(ωt), а ток — как I = dq/dt = −ωqₘ sin(ωt). Синусоидальные законы возникают потому, что скорость изменения тока и заряд связаны с действием самоиндукции и напряжения. Из-за синуса и косинуса ток сдвинут относительно заряда на π/2, то есть на четверть периода.

Параметры L и C определяют собственную циклическую частоту: ω = 1/√(LC). Поэтому T = 2π√(LC), а ν = 1/(2π√(LC)). В реальной цепи есть сопротивление: часть энергии превращается в тепло, амплитуда уменьшается, и колебания затухают.

Основные величины и соотношения колебательного контура

Таблица помогает выбрать формулу по тому, что требуется найти: энергию, ток, период или частоту. Перед вычислениями проверьте единицы: C должна быть в фарадах, а L — в генри. Для реального контура соотношение W = const используют только как приближение.

Разбор задач

Задача 1

Дано: C = 10 мкФ = 1,0·10⁻⁵ Ф, L = 0,40 Гн. Найдём период и частоту собственных колебаний.

1. Используем формулу Томсона: T = 2π√(LC).
2. Вычисляем произведение: LC = 0,40·1,0·10⁻⁵ = 4,0·10⁻⁶.
3. Получаем T = 2π·0,002 ≈ 0,0126 с.
4. Частота равна ν = 1/T ≈ 79,6 Гц.

Ответ: T ≈ 1,26·10⁻² с, ν ≈ 80 Гц.

Задача 2

Дано: C = 2,0·10⁻⁶ Ф, Uₘ = 100 В, L = 0,50 Гн. В начале энергия находится в конденсаторе, а при максимальном токе — в катушке.

1. Приравниваем энергии: CUₘ²/2 = LIₘ²/2.
2. Сокращаем общий множитель и выражаем ток: Iₘ = Uₘ√(C/L).
3. Подставляем значения: Iₘ = 100√(2,0·10⁻⁶/0,50) = 0,20 А.

Ответ: максимальная сила тока равна 0,20 А.

Задача 3

Дано: q = 4·10⁻⁶ cos(500t) Кл. Сравнение с q = qₘ cos(ωt) даёт qₘ = 4·10⁻⁶ Кл и ω = 500 рад/с.

1. Период: T = 2π/ω = 2π/500 ≈ 0,0126 с.
2. Ток: I = dq/dt = −ωqₘ sin(ωt) = −0,002 sin(500t) А.
3. При t = π/1000 с аргумент равен 500·π/1000 = π/2, поэтому I = −0,002 А.
4. Ёмкость определяется из ω = 1/√(LC): C = 1/(ω²L). Численное значение C найти нельзя, поскольку индуктивность L в условии не задана.

Ответ: T ≈ 0,0126 с, I = −2,0 мА; C = 1/(250000L), если L известно.

Типичные ошибки

Путают T и ν. Ошибка возникает из-за коэффициента 2π в формулах. Проверка проста: период измеряется в секундах и равен T = 1/ν, а связь ω = 2πν относится только к циклической частоте.

Не переводят единицы в СИ. Микрофарады и миллигенри подставляют в формулу как единицы без приставок, поэтому результат отличается на несколько порядков. Перед вычислением замените 10 мкФ на 10⁻⁵ Ф и проверьте размерность.

Считают, что ток и заряд максимальны одновременно. Заряд достигает максимума, когда ток равен нулю: I = dq/dt. При нулевом заряде ток максимален, что можно проверить по формулам cos и sin.

Сохраняют полную энергию в реальном контуре без оговорки. Сопротивление проводников превращает часть энергии в тепло, поэтому амплитуда убывает. Если в условии есть сопротивление или затухание, равенство W = const требует уточнения.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о заряде конденсатора, ёмкости, напряжении, энергии электрического поля и силе тока. Также важно знать индуктивность и явление самоиндукции: именно они объясняют появление магнитного поля и продолжение тока после разрядки конденсатора.

Колебательный контур служит основой для изучения переменного тока, резонанса и электромагнитных волн. Его свойства используются в радиосвязи и других устройствах, где нужно выделять или создавать колебания определённой частоты.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Полная энергия идеального контура сохраняется.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Частота колебаний не зависит от начального заряда конденсатора.
• Заряд и ток колеблются с разностью фаз π/2.
• В реальном контуре колебания затухают из-за сопротивления.