1. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда конденсатора, силы тока и энергии в замкнутой цепи после первоначального возбуждения без внешнего периодического воздействия. Иными словами, колебания поддерживаются запасённой в самой цепи энергией. Это определение помогает отличить их от вынужденных колебаний, которые вызывает внешний периодический источник.

Колебательный контур — замкнутая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, в которой возникают электромагнитные колебания. Конденсатор может накапливать заряд и энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Контур нужен, чтобы проследить периодический обмен этими видами энергии.

Собственная циклическая частота — частота свободных колебаний идеального колебательного контура, определяемая его ёмкостью и индуктивностью. Её обозначают ω₀ и измеряют в радианах в секунду. По ней можно узнать, как быстро меняются заряд и ток, а также вычислить период.

Формула Томсона — зависимость периода свободных электромагнитных колебаний от ёмкости конденсатора и индуктивности катушки: T = 2π√(LC). Здесь T — период, L — индуктивность, C — ёмкость. Формула позволяет рассчитывать свойства контура, не решая уравнение его движения каждый раз.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому между его обкладками есть напряжение и энергия электрического поля. После замыкания цепи заряд начинает перемещаться по проводам — возникает ток. Ток не исчезает мгновенно: катушка препятствует быстрому изменению тока, поэтому разряд конденсатора продолжается и вокруг катушки создаётся магнитное поле.

По мере разряда электрическая энергия конденсатора убывает, а магнитная энергия катушки растёт. Когда заряд конденсатора становится нулевым, ток достигает максимума: в идеальном контуре вся энергия в этот момент находится в магнитном поле. Катушка поддерживает ток и после разряда, поэтому он продолжает переносить заряд и заряжает конденсатор в обратном направлении. Затем процесс повторяется в противоположную сторону.

Заряд и ток изменяются гармонически — по синусоидальному или косинусоидальному закону. Если в начале конденсатор имеет максимальный заряд, удобно записать q = qₘ cos(ω₀t). При выбранной связи I = dq/dt получаем I = −ω₀qₘ sin(ω₀t); знак показывает направление тока, а его амплитуда равна Iₘ = ω₀qₘ. Функции сдвинуты по фазе на π/2: когда заряд максимален, ток равен нулю, а максимум тока приходится на нулевой заряд.

Чтобы найти частоту колебаний, используют уравнение контура: Lq″ + q/C = 0, где q″ — вторая производная заряда по времени. Оно имеет тот же вид, что уравнение гармонического осциллятора; сравнение коэффициентов даёт ω₀² = 1/(LC), то есть ω₀ = 1/√(LC). Поскольку период связан с циклической частотой формулой T = 2π/ω₀, получается формула Томсона T = 2π√(LC).

Идеальный контур не теряет энергию: электрическая энергия Wₑ = q²/(2C) и магнитная энергия Wₘ = LI²/2 переходят друг в друга, а их сумма постоянна. В реальном контуре есть электрическое сопротивление, поэтому часть энергии превращается во внутреннюю энергию проводников. Из-за потерь амплитуды заряда и тока со временем уменьшаются — колебания затухают.

Характеристики свободных электромагнитных колебаний

Используй таблицу, чтобы выбрать формулу по известным величинам и проверить, что именно требуется найти. В расчётах периода сначала переводи C в фарады, а L — в генри. В таблице также видно, что энергии меняются, но в идеальной модели их сумма сохраняется.

Разбор задач

Период и частота контура

Условие. Конденсатор ёмкостью 2 мкФ и катушка индуктивностью 0,5 Гн образуют идеальный колебательный контур. Найти период и частоту свободных колебаний. Сначала важно привести ёмкость к единицам СИ, иначе подстановка в формулу даст неверный результат.

1. Переводим ёмкость: C = 2 мкФ = 2·10⁻⁶ Ф; индуктивность уже дана в генри: L = 0,5 Гн.
2. Подставляем в формулу Томсона: T = 2π√(LC) = 2π√(0,5·2·10⁻⁶) с.
3. Вычисляем: LC = 10⁻⁶, √(LC) = 10⁻³, поэтому T ≈ 6,28·10⁻³ с.
4. Частота ν = 1/T ≈ 1/(6,28·10⁻³) ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц. Проверка единиц помогает обнаружить ошибку: период должен выражаться в секундах, частота — в герцах.

Ток по известному закону заряда

Условие. Заряд конденсатора изменяется по закону q = qₘ cos(ω₀t). Записать закон изменения силы тока и определить моменты максимального тока. Так как ток показывает скорость изменения заряда, нужно продифференцировать заданную функцию времени.

1. Используем связь I = dq/dt и находим производную: I = −ω₀qₘ sin(ω₀t).
2. Амплитуда тока равна Iₘ = ω₀qₘ; знак минус указывает направление относительно выбранного положительного направления тока.
3. Максимальный модуль тока достигается, когда |sin(ω₀t)| = 1, то есть ω₀t = π/2 + πk, где k — целое число.
4. Следовательно, моменты имеют вид t = (π/2 + πk)/ω₀. Для максимума тока с положительным знаком подходят ω₀t = 3π/2 + 2πk.

Ответ: I = −ω₀qₘ sin(ω₀t); модуль максимален при t = (π/2 + πk)/ω₀. Так видно, что максимум тока наступает не одновременно с максимумом заряда.

Максимальная сила тока из закона сохранения энергии

Условие. В начале колебаний конденсатор имел максимальный заряд. Найти максимальную силу тока, если известны ёмкость C, индуктивность L и начальное напряжение U₀. Числовые значения не заданы, поэтому ответ выразим через эти величины.

1. В начальный момент энергия конденсатора максимальна: Wₑ = CU₀²/2.
2. Когда ток максимален, энергия идеального контура находится в магнитном поле катушки: Wₘ = LIₘ²/2.
3. Приравниваем энергии: CU₀²/2 = LIₘ²/2. Сокращаем ½ и решаем уравнение относительно Iₘ.
4. Получаем Iₘ = U₀√(C/L). Выбираем положительный корень, поскольку речь идёт о модуле максимальной силы тока.

Ответ: Iₘ = U₀√(C/L). Такой способ особенно удобен, когда требуется найти максимум величины и известна энергия системы.

Типичные ошибки

Путать свободные колебания с вынужденными. Иногда считают, что переменный источник должен всё время поддерживать ток, потому что в обычной цепи ток создаёт источник. Но в контуре первоначальный запас энергии уже есть, и он переходит между полями конденсатора и катушки. Проверь себя: если периодического внешнего воздействия нет, а колебания начались после начального заряда, они свободные.

Подставлять в формулу значения не в единицах СИ. Например, запись C = 2 вместо C = 2·10⁻⁶ Ф завышает результат. Ошибка возникает потому, что приставка «микро» означает множитель 10⁻⁶, а не новую единицу измерения. Перед расчётом проверь, что ёмкость выражена в фарадах, а индуктивность — в генри.

Считать, что максимумы заряда и тока совпадают. Заряд задаёт, сколько электричества накоплено, а ток — насколько быстро оно меняется; это разные характеристики. При максимальном заряде изменение на мгновение прекращается, поэтому ток равен нулю. Проверь соотношение фаз: сдвиг составляет π/2, а максимум тока приходится на прохождение заряда через ноль.

Считать, что энергия всё время находится только в одном элементе. Такое представление не учитывает, что разряжающийся конденсатор создаёт ток, а ток в катушке создаёт магнитное поле. Энергия периодически переходит между электрическим и магнитным полями, хотя их сумма в идеальном контуре постоянна. Проверяй, какой из двух вкладов максимален в рассматриваемый момент.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны понятия заряда конденсатора, напряжения, ёмкости, силы тока, закона Ома и энергии электрического и магнитного полей. Механическим колебаниям соответствует полезная аналогия: индуктивность играет роль массы, а величина 1/C — роль упругости; магнитная энергия похожа на кинетическую энергию. Дальше модель контура помогает изучать вынужденные колебания, переменный ток и резонанс, а также понимать работу электромагнитных волн и радиосвязи.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки.
• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия.
• Энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.
• Сила тока опережает заряд конденсатора по фазе на π/2.
• Собственная циклическая частота идеального контура равна ω₀ = 1/√(LC).
• Период свободных колебаний определяется формулой Томсона T = 2π√(LC).
• В реальном контуре колебания затухают из-за сопротивления.