1. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки, в которой могут происходить электромагнитные колебания. Конденсатор обозначают ёмкостью C, а катушку — индуктивностью L. Контур нужен для накопления и взаимного преобразования энергии электрического и магнитного полей.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока в контуре после начального возбуждения без внешнего источника. Начальным возбуждением обычно служит заряд конденсатора. Это понятие помогает отличать колебания, которые происходят за счёт запасённой энергии, от колебаний под действием внешнего сигнала.

Собственная частота — частота колебаний, определяемая параметрами самого колебательного контура. Она зависит от индуктивности катушки L и ёмкости конденсатора C. По собственной частоте можно узнать, как быстро контур совершает колебания без внешнего периодического воздействия.

Электромагнитная энергия — сумма энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки. В идеальном контуре она переходит из одной формы в другую, а её полная величина сохраняется. Это понятие позволяет описывать колебания через энергетический обмен, а не только через значения заряда и тока.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, например, подключив его к источнику напряжения, а затем включают в контур с катушкой. На обкладках возникают равные по модулю разноимённые заряды, поэтому между ними появляется электрическое поле. В этом поле запасена энергия Wэ = q²/(2C), где q — заряд конденсатора. После отключения источника запасённая энергия становится причиной дальнейшего движения зарядов.

Когда контур замыкают, разность потенциалов на обкладках заставляет заряды двигаться по цепи, то есть возникает ток. По мере разрядки конденсатора его электрическое поле ослабевает, зато ток в катушке усиливается и создаёт магнитное поле. Энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля Wм = LI²/2. Этот переход не происходит мгновенно: нарастание тока определяется индуктивностью катушки.

При полном разряде конденсатора напряжение и электрическое поле становятся равными нулю, но ток в этот момент максимален. Если бы ток сразу прекратился, магнитное поле тоже исчезло бы мгновенно; катушка препятствует такому изменению благодаря самоиндукции. Возникающая ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении. Он продолжает переносить заряды и перезаряжает конденсатор с противоположной полярностью.

Затем новый заряд начинает разряжаться, и описанный обмен энергией повторяется. В идеальном контуре заряд меняется по закону q = qₘ cos(ω₀t), где qₘ — амплитуда заряда, а ω₀ — собственная циклическая частота. Напряжение U = q/C совпадает по фазе с зарядом, а ток I = dq/dt = −ω₀qₘ sin(ω₀t) сдвинут относительно них на π/2. Поэтому максимумы тока приходятся на моменты, когда заряд проходит через ноль.

Чтобы найти частоту, применяют уравнение контура: Lq″ + q/C = 0, где q″ — вторая производная заряда по времени. Сравнение с уравнением гармонических колебаний даёт ω₀ = 1/√(LC), а период равен T = 2π/ω₀ = 2π√(LC). Чем больше L или C, тем больше период и тем медленнее колебания. В реальном контуре есть сопротивление: часть энергии превращается во внутреннюю энергию проводников, поэтому амплитуда постепенно уменьшается.

Величины и энергия при свободных колебаниях в контуре

Используйте таблицу, чтобы выбрать формулу по известной величине и понять, в какой части цикла она максимальна. Заряд и напряжение достигают максимума одновременно, а максимальный ток соответствует нулевому заряду. При работе с периодом сначала переведите индуктивность и ёмкость в единицы СИ.

Разбор задач

Период и частота контура

Условие. Конденсатор ёмкостью 2 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,5 Гн. Найдите период и частоту свободных электромагнитных колебаний. Поскольку ёмкость дана в микрофарадах, сначала переведём её в фарады: C = 2·10⁻⁶ Ф. Используем формулу Томсона, которая связывает период с параметрами контура.

1. Запишем формулы: T = 2π√(LC), ν = 1/T.
2. Подставим значения в СИ: LC = 0,5·2·10⁻⁶ = 10⁻⁶.
3. Получим T = 2π√(10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,28·10⁻³ с.
4. Найдём частоту: ν = 1/(6,28·10⁻³ с) ≈ 159 Гц.

Ответ: период равен примерно 6,28 мс, частота — примерно 159 Гц. Проверка размерности подтверждает результат: произведение L и C имеет размерность времени в квадрате, а частота обратна периоду. Не следует подставлять микрофарады без перевода в фарады.

Ток по закону изменения заряда

Условие. Заряд конденсатора меняется по закону q = 4·10⁻⁶ cos(1000t) Кл. Нужно определить амплитуду тока и ток в момент t = π/2000 с. Здесь амплитуда заряда qₘ равна 4·10⁻⁶ Кл, а циклическая частота ω₀ — 1000 рад/с. Ток связан с зарядом производной по времени, поэтому при дифференцировании косинус превращается в синус.

1. Запишем зависимость: I = dq/dt = −ω₀qₘ sin(ω₀t).
2. Амплитуда тока равна Iₘ = ω₀qₘ = 1000·4·10⁻⁶ = 4·10⁻³ А.
3. Для заданного времени вычислим фазу: ω₀t = 1000·π/2000 = π/2.
4. Подставим фазу: I = −4·10⁻³ sin(π/2) = −4·10⁻³ А.

Ответ: Iₘ = 4 мА, в указанный момент I = −4 мА. Отрицательный знак показывает, что ток направлен противоположно выбранному положительному направлению. При этом заряд равен нулю, а модуль тока максимален, что соответствует сдвигу фаз на π/2.

По максимальным значениям определить параметр контура

Условие. Максимальные заряд конденсатора qₘ и сила тока Iₘ известны. Требуется найти индуктивность катушки или ёмкость конденсатора, если известен другой параметр контура. В момент максимального заряда вся энергия идеального контура электрическая, а при максимальном токе она магнитная. Поэтому максимальные энергии можно приравнять; тот же результат даёт связь амплитуды тока с частотой.

1. Приравняем энергии: qₘ²/(2C) = LIₘ²/2, откуда qₘ²/C = LIₘ².
2. Если известны C, qₘ и Iₘ, найдём L: L = qₘ²/(CIₘ²).
3. Если известны L, qₘ и Iₘ, найдём C: C = qₘ²/(LIₘ²).
4. Можно также использовать Iₘ = ω₀qₘ и ω₀ = 1/√(LC), предварительно выразив неизвестный параметр.

Ответ: индуктивность определяется формулой L = qₘ²/(CIₘ²), а ёмкость — C = qₘ²/(LIₘ²). Подставлять нужно значения в согласованных единицах СИ: кулонах, амперах, фарадах и генри. После вычисления проверьте, что искомая величина имеет нужную единицу измерения.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что ток прекращается сразу после полной разрядки конденсатора. Так рассуждают, если связывают ток только с напряжением конденсатора и не учитывают самоиндукцию. Проверьте себя по моменту максимального тока: когда заряд равен нулю, ток как раз максимален, а энергия находится в магнитном поле катушки.

Период иногда записывают как T = 1/√(LC), забывая множитель 2π. Путаница появляется из-за смешения периода с циклической частотой ω₀ = 1/√(LC): они связаны соотношением T = 2π/ω₀. Для проверки подставьте ω₀ в последнюю формулу и убедитесь, что множитель 2π присутствует.

Нельзя утверждать, что заряд и ток достигают максимума одновременно. Заряд задаётся косинусом, а ток — его производной, поэтому между ними сдвиг по фазе на π/2. Проверьте значения при ω₀t = 0: заряд максимален, а ток равен нулю; при прохождении заряда через ноль ток максимален по модулю.

Неверно считать, что вся энергия постоянно запасена только в конденсаторе или только в катушке. Такое представление возникает, если рассматривать лишь один момент колебания, а не весь цикл. Сверьте условия максимумов: Wэ максимальна при максимальном заряде, Wм — при максимальном токе, а в идеальном контуре сумма этих энергий постоянна.

Связь с другими темами

Для понимания контура понадобятся закон Ома, явление самоиндукции и знания о ёмкости конденсатора. Также важно помнить формулы энергии электрического и магнитного полей, потому что именно их превращение объясняет ход колебаний. Эти сведения помогают связать движение зарядов с поведением полей.

Свободные электромагнитные колебания похожи на гармонические механические колебания. Заряд соответствует координате, а ток — скорости: производная заряда по времени показывает, как быстро меняется электрическое состояние контура. Поэтому механическая аналогия помогает понять фазовый сдвиг между величинами.

Формулы контура пригодятся при изучении переменного тока и резонанса, а также при разборе основ радиосвязи. Колебательные процессы лежат и в основе возникновения электромагнитных волн. Понимание собственной частоты помогает объяснить, почему системы особенно сильно откликаются на воздействие определённой частоты.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки.
• Свободные колебания происходят без внешнего периодического воздействия.
• Энергия в контуре переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Заряд и напряжение изменяются синусоидально, а ток сдвинут относительно них по фазе на π/2.
• Собственная циклическая частота контура равна ω₀ = 1/√(LC).
• Период свободных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• В реальном контуре из-за сопротивления амплитуда колебаний постепенно уменьшается.