§ 24. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения после того, как систему вывели из равновесия и предоставили самой себе. Например, достаточно предварительно зарядить конденсатор и подключить его к катушке. Это понятие помогает отличить собственные колебания системы от тех, которые поддерживает внешнее периодическое воздействие.

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой могут происходить электромагнитные колебания. Конденсатор способен накапливать заряд и энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Контур нужен, чтобы проследить, как энергия переходит из одной формы в другую.

Период T — время одного полного колебания, а частота ν — число колебаний за единицу времени. Эти величины связаны формулой ν = 1/T: чем больше период, тем меньше частота. Они позволяют описать, насколько быстро повторяются изменения заряда и тока.

Формула Томсона задаёт период свободных колебаний идеального контура: T = 2π√(LC), где L — индуктивность катушки, а C — ёмкость конденсатора. Индуктивность показывает способность катушки противодействовать изменению тока, а ёмкость — способность конденсатора накапливать заряд. Формула позволяет найти период, не прослеживая каждый этап колебания.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают: на его обкладках оказываются заряды разных знаков, и между ними возникает электрическое поле. В этом поле запасена энергия, поэтому начальное состояние отличается от равновесного, в котором заряд отсутствует. Если соединить обкладки через катушку, заряды получают возможность двигаться по замкнутой цепи. Так начинается разряд конденсатора и появляется ток.

Ток в катушке создаёт вокруг неё магнитное поле, которому соответствует энергия. Но ток не может мгновенно вырасти или исчезнуть: при его изменении магнитное поле катушки меняется и порождает напряжение самоиндукции. Оно противодействует изменению тока, поэтому разряд не превращается в мгновенный скачок. Благодаря этому ток продолжает изменяться постепенно, а в контуре возникает колебательный процесс.

Когда конденсатор полностью разрядился, заряд на его обкладках равен нулю, но ток в катушке в этот момент максимален. Магнитное поле продолжает поддерживать движение зарядов, и ток не прекращается сразу. Он переносит заряды на обкладки конденсатора уже в обратном направлении. В результате конденсатор постепенно заряжается с противоположной полярностью, а ток в конце концов уменьшается до нуля.

Теперь конденсатор снова заряжен, но знаки на обкладках поменялись местами. Его электрическое поле вновь запасает энергию и начинает вызывать разряд, однако ток направлен противоположно прежнему. Дальше процесс повторяется: конденсатор разряжается, катушка создаёт магнитное поле, а затем ток возвращает заряд на конденсатор. Такой круг изменений составляет один полный период колебания.

В начале периода энергия находится в электрическом поле конденсатора, а при максимальном токе — в магнитном поле катушки. Между этими состояниями энергия непрерывно переходит из одной формы в другую. В идеальном контуре сопротивлением проводов пренебрегают, поэтому энергия не превращается в тепло и полная энергия сохраняется. Реальный контур постепенно теряет энергию из-за сопротивления, но для вывода формулы периода рассматривают идеальную модель.

Период зависит от свойств обоих элементов: по формуле Томсона T = 2π√(LC). Чем больше индуктивность L, тем сильнее катушка препятствует быстрому изменению тока; чем больше ёмкость C, тем больше заряд может накопить конденсатор при данном напряжении. В обоих случаях период увеличивается, поскольку в формуле растёт произведение LC. Перед расчётом нужно перевести величины в единицы СИ: L — в генри, C — в фарады.

Изменения в идеальном колебательном контуре за период

Сопоставляйте состояние заряда с током и энергией: по таблице видно, как одна форма энергии сменяет другую. Начало разряда можно выбрать точкой отсчёта; далее основные состояния наступают через четверть периода. Знак заряда указывает полярность обкладок, а знак тока зависит от выбранного направления отсчёта.

Разбор задач

1. Полностью заряженный конденсатор

Условие. Конденсатор в колебательном контуре полностью заряжен. Определите, какие энергия и сила тока в этот момент максимальны, а какие равны нулю. Считаем, что это начальный момент разряда идеального контура. Нужно сравнить электрическую и магнитную энергии, а также найти значение тока.

1. Заряженный конденсатор создаёт электрическое поле, поэтому энергия этого поля максимальна.
2. В начальный момент разряд ещё не успел начаться, значит, сила тока равна нулю.
3. Так как магнитное поле катушки связано с током, энергия этого поля в данный момент также равна нулю.

Ответ: максимальна энергия электрического поля конденсатора; сила тока и энергия магнитного поля равны нулю. Это состояние служит началом перехода энергии от конденсатора к катушке.

2. Найти период и частоту колебаний

Условие. Ёмкость конденсатора C = 4 мкФ, индуктивность катушки L = 0,25 Гн. Требуется найти период T и частоту ν свободных колебаний. Перед вычислением переведём ёмкость в фарады, иначе числовое значение в формуле Томсона будет неверным. Частоту найдём как величину, обратную периоду.

1. Переводим ёмкость: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставляем значения: T = 2π√(LC) = 2π√(0,25 · 4 · 10⁻⁶) = 2π√(10⁻⁶) = 2π · 10⁻³ с ≈ 0,00628 с.
3. Находим частоту: ν = 1/T ≈ 1/0,00628 с ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц. Период выражен в секундах при расчёте, а в ответе его удобно также записать в миллисекундах.

3. Найти ёмкость конденсатора

Условие. Период контура T = 2 мс, индуктивность катушки L = 0,20 Гн. Нужно определить ёмкость конденсатора. Формулу Томсона преобразуем так, чтобы C осталось по одну сторону равенства. Сначала период переведём в секунды и возведём обе части формулы в квадрат.

1. Переводим период: T = 2 мс = 0,002 с.
2. Из T = 2π√(LC) получаем T² = 4π²LC, поэтому C = T²/(4π²L).
3. Подставляем: C = (0,002)²/(4π² · 0,20) ≈ 5,1 · 10⁻⁷ Ф.
4. Переводим в микрофарады: 5,1 · 10⁻⁷ Ф = 0,51 мкФ.

Ответ: C ≈ 5,1 · 10⁻⁷ Ф, или приблизительно 0,51 мкФ. При возведении в квадрат нужно возвести в квадрат весь период, включая его числовое значение в секундах.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что заряд конденсатора и ток максимальны одновременно. Так думают, потому что оба значения меняются в ходе одного колебания, но их максимумы разнесены во времени. Проверьте себя по крайним состояниям: при максимальном заряде ток равен нулю, а при максимальном токе заряд равен нулю. Это также видно из таблицы и графика.

Другая ошибка — полагать, что ток сразу прекращается, когда конденсатор разрядился. В этот момент ток, наоборот, максимален: его поддерживает изменяющееся магнитное поле катушки. Продолжая течь, он заряжает конденсатор с обратной полярностью. Для проверки проследите, куда движутся заряды после того, как заряд конденсатора стал равен нулю.

Нельзя подставлять микрофарады или миллигенри в формулу Томсона без перевода в единицы СИ. Часто путают приставки и не замечают, что числовое значение величины меняется в миллионы или тысячи раз. Перед вычислением запишите C в фарадах, L в генри, а T — в секундах. Если результат неожиданно отличается на много порядков, прежде всего проверьте перевод единиц.

Не путайте период с частотой и не делайте вывод, что при увеличении L или C период уменьшается. Период — время одного колебания, частота — число колебаний за секунду, поэтому ν = 1/T. Из формулы T = 2π√(LC) видно: рост L или C увеличивает период, а не уменьшает его. Проверить себя можно, посмотрев, как изменяются подкоренное произведение и обратная ему частота.

Связь с другими темами

Для понимания контура нужно знать, как устроены конденсатор и катушка индуктивности, а также что такое заряд, электрический ток и энергия электрического поля. Эти понятия объясняют, откуда берутся начальный заряд и ток и где хранится энергия. Без них трудно проследить превращения, происходящие во время колебаний.

Электромагнитные колебания связаны с механическими превращениями энергии и идеей инерционности. Подобно тому как движущееся тело не останавливается мгновенно, ток в катушке не исчезает сразу из-за самоиндукции. Это сравнение помогает понять, почему система продолжает изменяться после начального воздействия.

Понятия контура и формула Томсона пригодятся при изучении переменного тока, колебательных процессов и радиотехнических устройств. В частности, период и частота помогают описывать быстрые повторяющиеся изменения тока и напряжения. Эти знания служат основой для понимания принципов работы устройств, использующих электрические колебания.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального возмущения системы и затем происходят без периодического внешнего воздействия.
• Простейший колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• В идеальном контуре энергия попеременно переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.
• Максимальный заряд конденсатора соответствует нулевой силе тока; максимальная сила тока — нулевому заряду.
• Период колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Частота свободных колебаний равна ν = 1/T.