§ 4. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока, происходящие после начального возбуждения без внешнего периодического воздействия. Например, достаточно предварительно зарядить конденсатор и замкнуть цепь с катушкой. Определение показывает, что дальше система меняется благодаря запасённой энергии, а не работе периодического источника.

Колебательный контур — замкнутая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, между которыми происходит обмен энергией. Конденсатор обозначают C, катушку — L; их соединение обеспечивает путь для тока и условия для взаимного превращения энергии. Понятие контура помогает выделить простую систему, чьи свойства можно описать одной моделью.

Собственная частота — частота свободных колебаний, определяемая параметрами самого колебательного контура. Она показывает, сколько полных колебаний контур совершает за секунду, и обозначается ν. Её можно найти по ёмкости и индуктивности, поэтому собственная частота нужна для сравнения контуров и настройки устройств.

Формула Томсона — зависимость периода собственных колебаний от индуктивности катушки и ёмкости конденсатора: T = 2π√(LC). Здесь T — период, L измеряется в генри, C — в фарадах. Формула позволяет вычислить время одного полного колебания и понять, как изменение деталей контура повлияет на его работу.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают от источника, а затем источник отключают и соединяют пластины через катушку. Между пластинами есть электрическое поле, а значит, в системе запасена энергия. При замыкании цепи напряжение конденсатора вызывает ток, и именно исходный запас энергии запускает процесс без дальнейшего периодического воздействия.

Пока конденсатор разряжается, ток в катушке растёт и создаёт магнитное поле. Энергия электрического поля уменьшается, зато увеличивается энергия магнитного поля катушки. Когда заряд становится нулевым, ток не исчезает мгновенно: катушка препятствует резкому изменению тока и поддерживает его, поэтому конденсатор начинает заряжаться с противоположной полярностью. Затем магнитное поле ослабевает, а энергия вновь накапливается в электрическом поле.

В идеальном контуре без сопротивления заряд можно записать как q = qₘ cos(ωt), где qₘ — наибольший по модулю заряд, а ω — циклическая частота. Ток равен скорости изменения заряда: I = dq/dt = −ωqₘ sin(ωt), если положительное направление выбрано соответственно этой записи. Синус и косинус достигают экстремумов в разные моменты: при наибольшем заряде ток равен нулю, а при q = 0 модуль тока максимален.

Связь между зарядом и током в контуре выражают уравнением Lq'' + q/C = 0: напряжение конденсатора уравновешивается самоиндукцией катушки. Это уравнение совпадает по виду с уравнением гармонических колебаний, для которого ω = 1/√(LC). Поскольку период T = 2π/ω, получается формула Томсона T = 2π√(LC), а собственная частота равна ν = 1/T = 1/(2π√(LC)). Если увеличить L или C, период возрастёт, а частота уменьшится.

В настоящей цепи есть сопротивление проводов и катушки, поэтому ток нагревает проводники и часть энергии уходит в окружающую среду. Запас энергии с каждым циклом уменьшается, из-за чего амплитуды заряда и тока становятся меньше: колебания затухают. Незатухающую модель применяют, когда потерями за рассматриваемое время можно пренебречь, например при достаточно малом сопротивлении и небольшом числе циклов.

Изменение заряда, тока и энергии в колебательном контуре

Таблица описывает идеальный контур, в котором полная энергия сохраняется, и показывает состояния через четверть периода. Сравнивая соседние строки, можно проследить, как энергия переходит между конденсатором и катушкой. Знаки заряда и направления тока важны: через половину периода полярность конденсатора уже противоположна начальной.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 2,0 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,50 Гн. Найти период и частоту свободных колебаний. Требуется определить обе величины, поэтому сначала удобно вычислить период по формуле Томсона. Перед подстановкой переведём ёмкость в фарады: C = 2,0·10⁻⁶ Ф.

1. Записываем формулу периода: T = 2π√(LC). Подстановка величин в СИ даёт T = 2π√(0,50·2,0·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,3·10⁻³ с. Это примерно 6,3 мс.

2. Частоту находим как ν = 1/T. Следовательно, ν ≈ 1/(6,3·10⁻³ с) ≈ 1,6·10² Гц, то есть около 160 Гц. Проверка единиц показывает, что частота выражена в обратных секундах, или герцах.

Ответ: T ≈ 6,3 мс, ν ≈ 160 Гц.

Задача 2. Заряд конденсатора меняется по закону q = 4·10⁻⁶ cos(1000t) Кл. Записать закон изменения силы тока и найти максимальное значение тока. Поскольку ток — это скорость изменения заряда, дифференцируем заданную функцию по времени. Коэффициент при косинусе задаёт амплитуду заряда, а число 1000 — циклическую частоту.

1. Используем связь I = dq/dt и производную cos(1000t): I = −4·10⁻⁶·1000 sin(1000t) = −4·10⁻³ sin(1000t) А. Минус показывает направление относительно выбранного положительного направления, а не отрицательность амплитуды.

2. Наибольший модуль синуса равен единице, поэтому максимальное значение модуля тока равно Iₘ = 4·10⁻³ А. Это 4 мА. Ток достигает такого значения при нулевом заряде, когда sin(1000t) = ±1.

Ответ: I = −4·10⁻³ sin(1000t) А; Iₘ = 4 мА.

Задача 3. Конденсатор ёмкостью 10 мкФ заряжен до напряжения 20 В и подключён к катушке. Максимальный ток равен 0,20 А. Найти индуктивность катушки и ток в момент, когда заряд уменьшился вдвое. Вначале используем сохранение энергии, чтобы связать начальную энергию конденсатора с максимальной энергией катушки. Затем найдём ток при заданном заряде из соотношения энергий.

1. Начальный заряд qₘ = CUₘ = 10·10⁻⁶·20 = 2,0·10⁻⁴ Кл. Начальная энергия равна CUₘ²/2 = 0,002 Дж, а при максимальном токе энергия катушки равна LIₘ²/2. Приравнивая их, получаем L = CUₘ²/Iₘ² = 0,10 Гн.

2. Когда заряд уменьшился вдвое, q = qₘ/2. Из сохранения энергии следует I²/Iₘ² = 1 − (q/qₘ)², поэтому |I| = 0,20√(1 − 1/4) ≈ 0,17 А. Знак тока зависит от того, какое направление выбрано положительным и на какой части колебания рассматривается момент.

Ответ: L = 0,10 Гн; модуль тока примерно 0,17 А.

Типичные ошибки

Подстановка ёмкости в микрофарадах или индуктивности в миллигенри без перевода в СИ даёт неверный период, потому что формула Томсона требует согласованных единиц. Ошибку допускают, перенося число из условия прямо в формулу. Перед вычислением запишите C в фарадах, L в генри и проверьте, что под корнем стоит величина в секундах в квадрате.

Иногда считают, что ток и заряд достигают максимума одновременно, хотя ток связан со скоростью изменения заряда. Поэтому при наибольшем заряде он равен нулю, а при прохождении заряда через ноль достигает максимума по модулю. Проверить себя можно по формулам q = qₘ cos(ωt) и I = −ωqₘ sin(ωt): экстремумы синуса и косинуса разнесены на четверть периода.

Формулу ν = 2π√(LC) получают, путая период с частотой и обращая зависимость неправильно. На самом деле T = 2π√(LC), а частота ν = 1/T = 1/(2π√(LC)). Проверка проста: при увеличении периода колебаний частота должна уменьшаться, а не расти.

Называть реальные колебания полностью незатухающими — значит игнорировать сопротивление контура. Это происходит, когда идеальную модель переносят на настоящую цепь без оговорок. Уточняйте, рассматривается ли идеальный контур или приближение: в реальности энергия рассеивается, и амплитуда со временем уменьшается.

Связь с другими темами

Для изучения контура нужны знания об энергии заряженного конденсатора и магнитного поля катушки, законе сохранения энергии и гармонических колебаниях. Формы энергии в электрической цепи меняются так же закономерно, как потенциальная и кинетическая энергия механического осциллятора. Аналогия помогает понять обмен энергией, но электрические величины следует описывать своими формулами.

Связь заряда, напряжения и тока пригодится при изучении переменного тока. В частности, синусоидальные величины могут быть сдвинуты по фазе, то есть достигать одинаковых характерных значений в разные моменты времени. В контуре заряд и напряжение меняются синфазно, а ток сдвинут относительно них на четверть периода.

Собственные колебания лежат в основе настройки радиоприёмников и передатчиков, а также работы электрических фильтров. Те же идеи об обмене энергией применяются при изучении колебательных систем и электромагнитных волн. Понимание периода позволяет выбирать параметры контура для нужной частоты.

Что запомнить

• Свободные колебания происходят без внешнего периодического воздействия после начального возбуждения.
• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Энергия в контуре периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Частота собственных колебаний равна ν = 1/(2π√(LC)).
• Заряд и напряжение колеблются синфазно, а ток сдвинут относительно них на четверть периода.
• В реальном контуре из-за сопротивления амплитуда колебаний постепенно уменьшается.

Как это устроено