§ 5. Собственная частота электромагнитных колебаний в контуре

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой возможны свободные электромагнитные колебания. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Такой контур нужен для получения и изучения электрических колебаний без внешнего периодического источника.

Собственная частота — частота свободных колебаний идеального контура, определяемая его ёмкостью C и индуктивностью L. Она показывает, сколько полных циклов происходит за одну секунду, и измеряется в герцах. Зная её, можно настроить контур на нужную частоту сигнала.

Собственный период T₀ — время одного полного цикла перераспределения энергии между электрическим и магнитным полями. За этот промежуток заряд и ток возвращаются к прежним значениям. Период измеряется в секундах и связан с частотой соотношением T₀ = 1/f₀.

Циклическая частота ω₀ связана с частотой формулой ω₀ = 2πf₀ и характеризует скорость изменения фазы колебаний. Она измеряется в радианах в секунду, хотя радиан считают безразмерной единицей. Именно ω₀ непосредственно входит в уравнения гармонического движения заряда и тока.

Как это устроено

Пусть конденсатор сначала зарядили и подключили к катушке. В начальный момент вся энергия находится в его электрическом поле, поэтому между обкладками есть напряжение, а ток равен нулю. Под действием этого напряжения электроны начинают двигаться по цепи, и заряд конденсатора уменьшается.

По мере роста тока энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля катушки. Ток не прекращается в момент полной разрядки конденсатора, потому что магнитное поле катушки поддерживает движение зарядов. Поэтому конденсатор перезаряжается с противоположной полярностью, после чего процесс повторяется в обратном направлении.

Изменение силы тока означает изменение магнитного поля катушки. Согласно явлению самоиндукции, при этом возникает ЭДС, направленная против изменения тока: она мешает току быстро возрасти или уменьшиться. Благодаря этой инерционности ток продолжается после разрядки конденсатора, а система не возвращается сразу в состояние покоя.

Для идеального контура закон Кирхгофа записывается так: q/C + L·dI/dt = 0. Так как I = dq/dt, получаем L·d²q/dt² + q/C = 0, или d²q/dt² + q/(LC) = 0. Это уравнение совпадает с уравнением гармонического осциллятора, поэтому q = qₘₐₓ cos(ω₀t + φ), где ω₀ = 1/√(LC), а I = dq/dt изменяется синусоидально и сдвинут по фазе на четверть периода.

Из связи ω₀ = 2π/T₀ следует формула Томсона T₀ = 2π√(LC), а после деления единицы времени получаем f₀ = 1/(2π√(LC)). Сопротивление в идеальном уравнении отсутствует, поскольку энергия не рассеивается. В реальном контуре сопротивление уменьшает амплитуду колебаний и приводит к затуханию; при малых потерях основную частоту часто считают практически равной расчётной.

Основные параметры свободных колебаний в идеальном колебательном контуре

Сначала определите, какая величина известна и какие единицы используются в условии. Для расчёта периода применяйте T₀, для числа колебаний в секунду — f₀, а для уравнений через фазу — ω₀. Если меняются C или L, часто достаточно использовать пропорции T₀ ~ √(LC) и f₀ ~ 1/√(LC).

Разбор задач

Задача 1

Условие: определить собственную частоту контура с индуктивностью 4 мГн и ёмкостью 100 пФ. Искомая величина — f₀, поэтому нужна формула Томсона. Перед вычислением все данные переводим в единицы СИ.

1. Переводим величины: L = 4·10⁻³ Гн, C = 100·10⁻¹² Ф = 10⁻¹⁰ Ф.
2. Находим произведение: LC = 4·10⁻¹³ Гн·Ф, поэтому √(LC) ≈ 6,32·10⁻⁷ с.
3. Подставляем в f₀ = 1/(2π√(LC)): f₀ ≈ 1/(6,28·6,32·10⁻⁷) ≈ 2,52·10⁵ Гц.

Ответ: f₀ ≈ 2,5·10⁵ Гц, или примерно 252 кГц. Малые значения ёмкости и индуктивности приводят здесь к достаточно высокой частоте.

Задача 2

Условие: для контура с частотой 1 МГц и индуктивностью 25 мкГн найти ёмкость конденсатора. Неизвестную C выразим из формулы Томсона, а затем проверим единицы результата. Такой порядок уменьшает риск перепутать частоту и период.

1. Переводим данные: f₀ = 10⁶ Гц, L = 25·10⁻⁶ Гн.
2. Из f₀ = 1/(2π√(LC)) получаем C = 1/(4π²f₀²L).
3. Вычисляем: C = 1/[4π²·(10⁶)²·25·10⁻⁶] ≈ 1,01·10⁻⁹ Ф.
4. Так как 10⁻⁹ Ф = 1 нФ, результат имеет разумный для радиочастотного контура порядок.

Ответ: C ≈ 1,0 нФ. Проверка размерности показывает, что найденная величина является ёмкостью, а не частотой или периодом.

Задача 3

Условие: ёмкость контура увеличили в 9 раз, а индуктивность уменьшили в 4 раза. Требуется определить, как изменились период и частота. Численные значения C и L не нужны, потому что достаточно сравнить произведения параметров.

1. Новое произведение равно L′C′ = (L/4)·9C = 9LC/4.
2. По зависимости T₀ ~ √(LC) получаем T′₀/T₀ = √(9/4) = 3/2.
3. Частота обратно пропорциональна корню из LC, поэтому f′₀/f₀ = 2/3.

Ответ: собственный период увеличился в 1,5 раза, а собственная частота уменьшилась в 1,5 раза, то есть стала равна 2/3 первоначального значения. Изменения C и L действуют в противоположных направлениях, но увеличение ёмкости оказывается сильнее.

Типичные ошибки

Путают частоту f₀ с циклической частотой ω₀ и забывают множитель 2π. Это происходит из-за похожих обозначений и общего смысла «скорости колебаний». Проверьте себя по формулам ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π): единицей f₀ должен быть герц.

Подставляют ёмкость в микрофарадах или индуктивность в миллигенри без перевода в СИ. Тогда произведение LC и итоговая частота отличаются от правильных на большие степени десяти. Перед расчётом запишите C и L в фарадах и генри, а затем оцените порядок ответа.

Считают, что увеличение C или L повышает частоту. Ошибка возникает, если не заметить корень в знаменателе формулы. Увеличение любого из параметров увеличивает T₀ и уменьшает f₀; это можно проверить через зависимости T₀ ~ √(LC) и f₀ ~ 1/√(LC).

Включают сопротивление контура в формулу Томсона для идеального контура. Так смешивают собственную частоту идеальной системы с параметрами затухающих колебаний реальной цепи. Сначала уточните модель: для идеального контура используйте только L и C, а сопротивление учитывайте при обсуждении потерь и затухания.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны закон Ома и правила Кирхгофа, самоиндукция, энергия конденсатора и катушки, а также свойства гармонических колебаний. Эти знания объясняют появление уравнения контура и смысл его параметров.

Собственная частота нужна для понимания работы радиоприёмников, генераторов и настройки цепей на резонанс. Изменяя C или L, можно выбрать нужный диапазон частот.

Далее формула Томсона используется при изучении вынужденных электромагнитных колебаний, резонанса и радиосвязи. Она позволяет сравнивать собственную частоту контура с частотой внешнего сигнала.

Что запомнить

• В идеальном колебательном контуре энергия периодически переходит между электрическим и магнитным полями.
• Собственная циклическая частота контура определяется формулой ω₀ = 1/√(LC).
• Собственный период равен T₀ = 2π√(LC).
• Собственная частота равна f₀ = 1/(2π√(LC).
• Увеличение ёмкости или индуктивности увеличивает период и уменьшает частоту.
• Формула Томсона относится к идеальному контуру; в реальной цепи колебания затухают из-за потерь.