§ 38. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой могут возникать электромагнитные колебания. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Поэтому именно эти два элемента обеспечивают взаимный переход энергии.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока в контуре после начального возбуждения без внешнего периодического воздействия. Например, контур сначала заряжают, а затем отключают источник. Дальше система колеблется за счёт собственной энергии.

Собственная частота — частота свободных колебаний, определяемая параметрами колебательного контура. Она не задаётся внешним генератором, а зависит от ёмкости C и индуктивности L. По ней можно определить, насколько быстро контур совершает свои колебания.

Формула Томсона связывает период свободных колебаний с ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки: T = 2π√(LC). Она позволяет найти время одного полного цикла. Через период находят собственную частоту: ν = 1/T.

Как это устроено

Сначала конденсатор подключают к источнику и заряжают, поэтому на его обкладках появляются равные по модулю противоположные заряды. Между обкладками возникает электрическое поле, а энергия запасается в этом поле: Wₑ = q²/(2C). Чем больше заряд, тем больше энергия и напряжение конденсатора.

Если затем замкнуть контур и отключить источник, между обкладками появляется электрическое поле, действующее на свободные заряды в проводнике. Конденсатор начинает разряжаться через катушку, и в цепи возникает ток. Ток создаёт магнитное поле катушки, поэтому электрическая энергия постепенно превращается в магнитную.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток не исчезает мгновенно. Изменение тока вызывает явление самоиндукции: катушка создаёт ЭДС, препятствующую резкому изменению тока. Благодаря этому ток продолжает течь в прежнем направлении и переносит заряды на обкладки, перезаряжая конденсатор с противоположной полярностью.

После перезарядки ток постепенно уменьшается, а магнитное поле катушки ослабевает. Энергия возвращается в электрическое поле нового заряда конденсатора, затем процесс повторяется в обратную сторону. В идеальном контуре полная энергия W = q²/(2C) + LI²/2 остаётся постоянной.

Уравнение идеального контура приводит к гармоническим законам q = qₘₐₓ cos(ωt) и I = −ωqₘₐₓ sin(ωt), где ω — циклическая частота. Из условия ω = 1/√(LC) получают формулу Томсона T = 2π√(LC). В реальной цепи сопротивление проводников рассеивает энергию в виде тепла, поэтому амплитуды постепенно уменьшаются и колебания затухают.

Основные характеристики свободных электромагнитных колебаний

Таблицу удобно использовать как справочник: сначала определите, какая величина неизвестна, затем найдите её обозначение и формулу. Следите за единицами СИ: ёмкость выражают в фарадах, индуктивность — в генри, период — в секундах. Для проверки результата оцените зависимость: увеличение C или L должно увеличивать период.

Разбор задач

Период и частота контура

Условие. Контур имеет ёмкость C = 1 мкФ и индуктивность L = 0,01 Гн. Найдите период и частоту свободных колебаний. Сначала все величины нужно перевести в единицы СИ.

1. Используем формулу Томсона: T = 2π√(LC).
2. Подставляем значения: T = 2π√(0,01 · 10⁻⁶) ≈ 6,28 · 10⁻⁴ с.
3. Находим частоту по связи ν = 1/T: ν ≈ 1,59 · 10³ Гц.

Ответ: T ≈ 0,628 мс, ν ≈ 1,59 кГц. Больший период по сравнению с быстрым электрическим процессом согласуется с заметными значениями L и C.

Максимальный ток

Условие. Максимальный заряд конденсатора равен qₘₐₓ, его ёмкость — C, а индуктивность катушки — L. Требуется найти максимальную силу тока Iₘₐₓ. Численные значения не заданы, поэтому ответ выразим через параметры.

1. В момент максимального заряда вся энергия находится в электрическом поле: Wₑ = qₘₐₓ²/(2C).
2. В момент максимального тока энергия полностью магнитная: Wₘ = LIₘₐₓ²/2.
3. Приравниваем энергии и сокращаем общий множитель ½: qₘₐₓ²/C = LIₘₐₓ².
4. Извлекаем корень: Iₘₐₓ = qₘₐₓ/√(LC).

Ответ: Iₘₐₓ = qₘₐₓ/√(LC). Формула показывает, что при том же максимальном заряде увеличение L или C уменьшает максимальный ток.

Закон изменения заряда

Условие. Заряд изменяется по закону q = qₘₐₓ cos(ωt). Нужно определить ток, моменты максимального заряда и направление тока. Знак тока задаётся выбранным положительным направлением в контуре.

1. Дифференцируем заряд: I = dq/dt = −ωqₘₐₓ sin(ωt).
2. Максимальный положительный заряд достигается при ωt = 2πn, где n ∈ Z, а максимальный отрицательный — при ωt = π + 2πn.
3. Ток равен нулю в эти моменты, потому что заряд меняется с мгновенной скоростью ноль.
4. При 0 < ωt < π ток отрицателен, значит, он направлен противоположно выбранному положительному направлению; при π < ωt < 2π знак тока положителен.

Ответ: I = −ωqₘₐₓ sin(ωt); заряд и ток сдвинуты по фазе на π/2. Направление тока определяют по знаку выражения для I.

Типичные ошибки

Путают свободные и вынужденные колебания. Свободные начинаются после начального возбуждения и идут без внешнего периодического воздействия, а вынужденные поддерживаются внешним источником. Проверьте, есть ли в условии действующий генератор.

Считают, что энергия всё время находится только в одном элементе. На самом деле она переходит между полями конденсатора и катушки. Проверка проста: при максимальном q ток равен нулю, а при максимальном токе заряд равен нулю.

Неверно применяют формулу Томсона. Правильная запись имеет корень: T = 2π√(LC), а частота равна ν = 1/T. Проверьте размерность и убедитесь, что не перепутали T с ν.

Считают заряд и ток максимальными одновременно. Ток пропорционален производной заряда, поэтому при максимальном заряде он равен нулю. На графике или по формулам проверьте сдвиг фаз π/2.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Ома, явление самоиндукции, а также формулы энергии конденсатора и магнитного поля катушки. Знание свободных колебаний помогает изучать переменный ток, вынужденные колебания и резонанс. Те же идеи применяются в генераторах, фильтрах и радиотехнических цепях.

Что запомнить

• Свободные электромагнитные колебания происходят в колебательном контуре без внешнего периодического воздействия.
• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Энергия колебаний переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.
• Период свободных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Заряд и сила тока изменяются по гармоническим законам и сдвинуты по фазе на π/2.
• В реальном контуре колебания постепенно затухают из-за сопротивления проводников.
• Увеличение ёмкости или индуктивности приводит к увеличению периода собственных колебаний.