§ 39. Процессы при гармонических колебаниях в контуре

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор накапливает электрическую энергию, а катушка — магнитную. Такой контур нужен для изучения электромагнитных колебаний и является моделью многих радиотехнических устройств.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и энергии в идеальном контуре без внешнего источника. Они возникают благодаря первоначально запасённой энергии. Термин «свободные» показывает, что дальнейшее движение системы поддерживается её внутренними свойствами.

Собственная циклическая частота — величина, определяющая скорость колебаний контура: ω₀ = 1/√(LC). Она зависит от индуктивности катушки L и ёмкости конденсатора C. По ней находят период и сравнивают разные контуры.

Фаза колебаний задаёт состояние процесса в выбранный момент времени. В выражении q = qₘ cos(ω₀t + φ₀) величина ω₀t + φ₀ является фазой. Сравнение фаз помогает понять, почему максимум тока не совпадает с максимумом заряда.

Как это устроено

Пусть конденсатор предварительно зарядили. Между его обкладками возникает электрическое поле, поэтому энергия системы равна энергии конденсатора. После соединения с катушкой конденсатор начинает разряжаться, и появившийся ток создаёт магнитное поле вокруг катушки.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток не исчезает мгновенно. Катушка препятствует резкому изменению тока: возникающая ЭДС самоиндукции поддерживает движение зарядов. Поэтому ток продолжает течь и заряжает конденсатор с противоположной полярностью.

В идеальном контуре заряд меняется гармонически: q = qₘ cos(ω₀t + φ₀). Сила тока показывает, как быстро меняется заряд, поэтому i = dq/dt = −ω₀qₘ sin(ω₀t + φ₀). Знак минус связан с выбранным положительным направлением тока и указывает направление движения заряда.

Синус и косинус отличаются сдвигом на π/2, поэтому ток опережает заряд по фазе на π/2. При максимальном положительном или отрицательном заряде производная равна нулю, и ток отсутствует. Когда заряд проходит через ноль, его изменение наиболее быстрое, поэтому модуль тока максимален.

Электрическая энергия конденсатора Wэ = q²/(2C) постепенно уменьшается во время разряда. Одновременно растёт магнитная энергия катушки Wм = Li²/2, а затем процесс идёт в обратную сторону. В идеальном контуре Wэ + Wм = W = const, то есть энергия не исчезает, а переходит из одной формы в другую.

Основные величины при гармонических колебаниях в контуре

Сначала определите, какая величина известна: заряд, ток, период или энергия. Затем выберите строку таблицы и проверьте, согласуется ли результат с фазовой связью и законом сохранения энергии.

Для вычислений L и C нужно переводить в единицы СИ: генри и фарады. Если требуется направление тока, одного модуля недостаточно — знак в формуле производной указывает его относительно выбранного направления.

Разбор задач

Задача 1. Колебательный контур имеет L = 0,5 Гн и C = 2 мкФ. Найдём собственную циклическую частоту и период. Сначала переведём ёмкость в фарады, затем вычислим произведение LC.

1. C = 2 мкФ = 2·10⁻⁶ Ф.
2. LC = 0,5·2·10⁻⁶ = 10⁻⁶ с², поэтому √(LC) = 10⁻³ с.
3. ω₀ = 1/√(LC) = 1000 рад/с; T = 2π√(LC) = 2π·10⁻³ ≈ 6,28·10⁻³ с.

Ответ: ω₀ = 1000 рад/с, T ≈ 6,28 мс. Период можно также найти как T = 2π/ω₀.

Задача 2. Заряд задан законом q = 4 мкКл·cos(2000t). Найдём ток при t = π/4000 с и его максимум. Производная косинуса даёт знак минус, поэтому направление тока нельзя определять только по модулю заряда.

1. i = dq/dt = −4·10⁻⁶·2000 sin(2000t) = −8·10⁻³ sin(2000t) А.
2. При указанном времени 2000t = π/2, поэтому i = −8·10⁻³ А.
3. Максимальный модуль тока достигается при синусе, равном ±1: iₘ = 8·10⁻³ А.

Ответ: i = −8 мА, а максимальная сила тока по модулю равна 8 мА. Минус означает направление, противоположное выбранному положительному направлению.

Задача 3. Дано L = 0,2 Гн, C = 5 мкФ, qₘ = 10 мкКл и q = 6 мкКл. Найдём электрическую и магнитную энергии, а затем ток. Полная энергия равна максимальной энергии конденсатора.

1. W = qₘ²/(2C) = (10·10⁻⁶)²/(2·5·10⁻⁶) = 10⁻⁵ Дж.
2. Wэ = q²/(2C) = (6·10⁻⁶)²/(2·5·10⁻⁶) = 3,6·10⁻⁶ Дж.
3. Wм = W − Wэ = 6,4·10⁻⁶ Дж.
4. Из Wм = Li²/2 получаем |i| = √(2Wм/L) = √(6,4·10⁻⁵) ≈ 8·10⁻³ А.

Ответ: Wэ = 3,6 мкДж, Wм = 6,4 мкДж, |i| ≈ 8 мА. Знак тока по этим данным определить нельзя без указания направления движения заряда.

Типичные ошибки

1. Считать, что ток и заряд максимальны одновременно. Так происходит из-за привычки рассматривать все колеблющиеся величины одинаково. Проверьте фазу: i = dq/dt, поэтому максимум заряда соответствует нулевому току.

2. Забывать знак минус в i = dq/dt. Производная косинуса отрицательна, и без этого знака направление тока определяют неверно. После вычисления подставьте момент времени и проверьте, возрастает или убывает заряд.

3. Не переводить единицы в СИ. Подстановка микрофарад вместо фарад или миллигенри вместо генри меняет результат во много раз. Перед расчётом выпишите L и C в генри и фарадах, а затем оцените порядок ответа.

4. Считать электрическую или магнитную энергию постоянной. В процессе колебаний каждая из них изменяется, постоянна только сумма Wэ + Wм. Проверьте расчёт законом сохранения энергии: ни одна отдельная энергия не должна превышать полную.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны гармонические колебания, амплитуда, период, циклическая частота, фаза и правила дифференцирования синуса и косинуса. Формулы энергий опираются на энергию заряженного конденсатора и катушки, а поддержание тока объясняется электромагнитной индукцией и самоиндукцией. Эти знания используются при изучении переменного тока, резонанса, радиосвязи и электрических колебательных систем.

Что запомнить

• В идеальном LC-контуре заряд и ток изменяются гармонически.
• Собственная циклическая частота контура: ω₀ = 1/√(LC).
• Период колебаний: T = 2π√(LC).
• Сила тока опережает заряд по фазе на π/2.
• При максимальном заряде ток равен нулю, а при максимальном токе заряд проходит через ноль.
• Электрическая энергия конденсатора превращается в магнитную энергию катушки и обратно.
• В идеальном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется.