§ 11. Колебательный контур

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Их совместное действие создаёт условия для периодического обмена энергией и возникновения колебаний.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после начального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Например, достаточно предварительно зарядить конденсатор и соединить его с катушкой. Понятие помогает отличить собственное движение системы от колебаний, поддерживаемых внешним источником.

Собственная частота — частота свободных колебаний идеального контура, определяемая его ёмкостью C и индуктивностью L. Она показывает, с какой скоростью контур колеблется сам по себе. Чем больше C или L, тем меньше собственная частота.

Период электромагнитных колебаний — время одного полного цикла изменения заряда, напряжения и тока. Период обозначают T и измеряют в секундах. За это время конденсатор возвращается к прежнему заряду, а ток проходит полный цикл изменений.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому между его обкладками возникает электрическое поле и появляется запас энергии. Если затем замкнуть цепь с катушкой, разность потенциалов начинает перемещать заряды по проводнику. Так начальный заряд становится причиной тока, а электрическая энергия начинает переходить в другие формы.

Во время разряда конденсатора сила тока возрастает, потому что напряжение на нём заставляет заряды двигаться по цепи. Одновременно ток создаёт магнитное поле катушки, и энергия электрического поля превращается в магнитную. Когда конденсатор полностью разряжен, напряжение равно нулю, но ток максимален: самоиндукция не позволяет ему мгновенно измениться до нуля.

По инерции тока заряды продолжают двигаться и перезаряжают конденсатор противоположно первоначальному знаку. Теперь магнитное поле катушки ослабевает, а его энергия возвращается в электрическое поле конденсатора. После новой остановки тока конденсатор снова заряжен, и процесс повторяется уже в обратном направлении.

Для идеального контура удобно выбрать закон заряда q = Q_max cos(ω₀t). Поскольку сила тока равна скорости изменения заряда, i = dq/dt = −ω₀Q_max sin(ω₀t), ток достигает максимума там, где заряд проходит через ноль. Знак «минус» показывает выбранное направление тока, а сдвиг синуса относительно косинуса — разность фаз в четверть периода.

Уравнение свободных колебаний имеет вид d²q/dt² + q/(LC) = 0, поэтому собственная циклическая частота равна ω₀ = 1/√(LC). Отсюда период T = 2π√(LC), а обычная частота ν = 1/(2π√(LC)). В реальном контуре сопротивление проводников отнимает энергию, поэтому амплитуды постепенно уменьшаются и колебания затухают.

Изменение величин в идеальном колебательном контуре

Сначала определите фазу ω₀t, а затем сравните значения синуса и косинуса с условиями в последнем столбце. Квадрат синуса или косинуса показывает энергию, поэтому энергия достигает максимума там же, где соответствующая величина максимальна по модулю. Таблица также позволяет быстро проверить, какая форма энергии преобладает в выбранный момент.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ подключён к катушке индуктивностью 0,25 Гн. Требуется найти период свободных колебаний. Используем формулу Томсона, потому что речь идёт о собственных колебаниях идеализированного контура.

1. Переведём ёмкость в СИ: C = 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф, L = 0,25 Гн.
2. Подставим значения: T = 2π√(LC) = 2π√(0,25·4·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с.
3. Вычислим: T ≈ 6,28·10⁻³ с.

Ответ: период равен примерно 6,3 мс.

Задача 2

Заряд задан законом q = 6·10⁻⁶ cos(500t) Кл. Здесь Q_max = 6·10⁻⁶ Кл, а ω₀ = 500 рад/с. Силу тока найдём дифференцированием, поскольку ток показывает скорость изменения заряда.

1. Запишем ток: i = dq/dt = −500·6·10⁻⁶ sin(500t) = −3·10⁻³ sin(500t) А.
2. Амплитуда тока равна коэффициенту перед синусом: I_max = 3·10⁻³ А.
3. При t = π/1000 с аргумент равен 500·π/1000 = π/2, поэтому i = −3·10⁻³ А.

Ответ: I_max = 3 мА, а в указанный момент i = −3 мА; минус означает направление, противоположное выбранному положительному.

Задача 3

Известны индуктивность L, максимальный заряд Q_max и максимальный ток I_max. Нужно найти ёмкость и максимальную энергию. Свяжем амплитуды формулой I_max = ω₀Q_max, а затем выразим неизвестную величину.

1. Найдём частоту: ω₀ = I_max/Q_max.
2. Из ω₀ = 1/√(LC) получим C = 1/(Lω₀²) = Q_max²/(LI_max²).
3. Максимальная энергия равна электрической энергии при заряженном конденсаторе: W_max = Q_max²/(2C). После подстановки можно проверить её также по формуле W_max = LI_max²/2.

Ответ: C = Q_max²/(LI_max²), W_max = LI_max²/2 = Q_max²/(2C).

Типичные ошибки

Ток прекращается при полном разряде конденсатора. Так ошибаются, потому что связывают ток только с напряжением на конденсаторе. На самом деле ток в этот момент максимален благодаря самоиндукции; проверьте себя по условию i = 0 только при максимальном заряде.

Заряд и ток максимальны одновременно. Ошибка возникает при невнимательном сравнении формул косинуса и синуса. Ток пропорционален производной заряда, поэтому максимумы разделены четвертью периода.

Частоту ν путают с циклической частотой ω₀. Обе величины описывают быстроту колебаний, но ω₀ измеряется в рад/с и равна 2πν. Проверка проста: период должен вычисляться как T = 1/ν = 2π/ω₀.

Единицы не переводят в СИ. Подстановка 4 мкФ или 0,25 мГн как обычных чисел меняет результат в миллионы раз. Перед вычислением запишите C в фарадах, L — в генри, а итог периода — в секундах.

Связь с другими темами

Для изучения контура нужны понятия ёмкости конденсатора, индуктивности катушки, электромагнитной индукции и самоиндукции. Они объясняют, откуда берутся энергия полей и сила, поддерживающая ток.

Колебательный контур связывает механические гармонические колебания с электромагнитными: в обоих случаях величины меняются периодически и могут описываться синусом или косинусом. На этом принципе основана настройка радиоприёмных контуров.

Далее модель контура понадобится при изучении переменного тока, резонанса и электромагнитных волн. Собственная частота контура помогает понять, почему система особенно сильно реагирует на внешнее воздействие определённой частоты.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит из электрической в магнитную и обратно.
• Заряд и ток изменяются периодически и сдвинуты по фазе на четверть периода.
• Собственная циклическая частота контура равна ω₀ = 1/√(LC).
• Период свободных колебаний задаётся формулой Томсона T = 2π√(LC).
• В реальном контуре сопротивление вызывает потери энергии и затухание колебаний.