2. Вынужденные колебания

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. В отличие от свободных колебаний, они не прекращаются сразу из-за потерь энергии, пока действует источник. Понятие нужно, чтобы описывать движение маятника, мембраны или электрической цепи под внешним ритмическим воздействием.

Вынуждающая сила — внешняя периодически изменяющаяся сила, поддерживающая колебания системы. Обычно её записывают так: F(t) = F₀ cos ωt, где F₀ — амплитуда силы, а ω — её циклическая частота. По этой силе определяют, откуда система получает энергию.

Частота вынуждающей силы — частота, с которой изменяется внешнее воздействие. После окончания переходного процесса именно с этой частотой колеблется система. Циклическую частоту обозначают ω и измеряют в рад/с, а обычную частоту ν — в герцах.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы приближается к собственной частоте системы. В идеальной системе без сопротивления амплитуда могла бы неограниченно расти. В реальных системах сопротивление ограничивает резонансный отклик.

Как это устроено

Если на колебательную систему действует периодическая внешняя сила, она регулярно сообщает телу энергию. Поэтому движение уже определяется не только начальным отклонением и внутренними силами, как при свободных колебаниях. Характер движения зависит от массы, упругости, сопротивления, амплитуды силы и соотношения частот воздействия и системы.

Для пружинного осциллятора сила упругости равна −kx, сила сопротивления при небольших скоростях пропорциональна скорости и направлена против движения, а внешняя сила может быть F₀ cos ωt. По второму закону Ньютона получают уравнение m x″ + 2mβx′ + mω₀²x = F₀ cos ωt. В нём ω₀ — собственная циклическая частота, а β характеризует затухание.

Решение этого уравнения складывается из двух частей. Первая часть описывает переходные колебания: они имеют собственную частоту системы и постепенно затухают из-за сопротивления. Вторая часть является установившимися вынужденными колебаниями и сохраняется, пока действует внешняя сила.

После затухания переходной части система колеблется с частотой внешнего воздействия, потому что именно сила задаёт периодическую передачу энергии. При этом амплитуда не обязана быть постоянной для разных частот: она определяется тем, насколько эффективно сила поддерживает движение. Фаза также меняется: при низких частотах смещение почти совпадает с действием силы, а около и выше резонанса появляется заметный сдвиг.

Резонанс возникает, когда внешняя частота близка к собственной, поскольку каждое воздействие приходится на подходящую фазу движения и энергия передаётся особенно эффективно. Амплитуда становится максимальной не обязательно точно при ω = ω₀, если сопротивление велико: положение вершины зависит от затухания. Чем меньше сопротивление, тем выше и уже резонансный пик, а чем больше сопротивление, тем ниже и шире отклик.

Сравнение свободных и вынужденных колебаний

Таблица помогает быстро определить, откуда берётся энергия и какая частота наблюдается после переходного процесса. Если в условии дана периодическая внешняя сила, нужно анализировать именно вынужденный режим. Для оценки резонанса сравнивают частоту силы с собственной частотой системы и учитывают сопротивление.

Разбор задач

Задача 1

На тело действует сила F(t) = 4 cos(6t) Н. Нужно определить, являются ли колебания вынужденными, и назвать частоту внешнего воздействия. Вид косинуса показывает, что сила меняется периодически во времени.

1. Сравниваем заданную силу с формой F(t) = F₀ cos ωt. Получаем F₀ = 4 Н и ω = 6 рад/с.
2. Поскольку сила является внешней и периодической, она поддерживает колебательное движение. Следовательно, колебания тела вынужденные.
3. Если требуется обычная частота, переводим результат: ν = ω/(2π) = 6/(2π) = 3/π Гц ≈ 0,95 Гц.

Ответ: колебания вынужденные; циклическая частота внешней силы равна 6 рад/с, обычная частота — примерно 0,95 Гц.

Задача 2

Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м. Требуется найти собственную частоту системы и частоту внешней силы, при которой ожидается резонанс. Сначала находим собственную циклическую частоту пружинного осциллятора.

1. Используем формулу ω₀ = √(k/m). Подставляем значения: ω₀ = √(200/0,5) = √400 = 20 рад/с.
2. Резонанс возникает, когда частота внешней силы близка к собственной частоте системы. Поэтому следует выбрать ω ≈ 20 рад/с.
3. При необходимости переводим в герцы: ν₀ = ω₀/(2π) = 10/π Гц ≈ 3,18 Гц.

Ответ: собственная циклическая частота равна 20 рад/с, резонанс ожидается при внешней частоте, близкой к 20 рад/с, или примерно 3,18 Гц.

Задача 3

Дано: m = 1 кг, ω₀ = 10 рад/с, β = 1 с⁻¹, F₀ = 2 Н. Амплитуду установившихся колебаний ищем по формуле A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + 4β²ω²). Сравним частоту 6 рад/с с собственной частотой и отдельно рассмотрим резонансный случай ω = 10 рад/с.

1. При ω = 6 рад/с: A = 2/√((100 − 36)² + 4·1²·6²) = 2/√4240 ≈ 0,0307 м.
2. При ω = 10 рад/с: A = 2/√((100 − 100)² + 4·1²·10²) = 2/20 = 0,10 м.
3. Амплитуда при частоте 10 рад/с примерно в 3,3 раза больше, чем при 6 рад/с. Это объясняется близостью внешней частоты к собственной и более эффективной передачей энергии.

Ответ: при 6 рад/с амплитуда примерно 0,0307 м, при 10 рад/с — 0,10 м; второй результат больше из-за резонансного усиления.

Типичные ошибки

Считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной. Так бывает только для свободного движения или при специальном совпадении частот. Проверьте, какая частота указана у внешней силы: в установившемся режиме именно она задаёт ритм.

Путать резонанс с любым увеличением амплитуды. Амплитуда может изменяться по разным причинам, но резонанс связан с приближением частоты воздействия к собственной частоте. Для проверки сравните ω и ω₀, а не просто два значения амплитуды.

Игнорировать сопротивление при описании резонанса. Без сопротивления модель предсказывает неограниченный рост амплитуды при точном совпадении частот, что нереалистично. Проверьте наличие коэффициента β или силы сопротивления в условии.

Подставлять обычную частоту вместо циклической. В формулах с ω используются рад/с, а не герцы. Перед вычислением сверьте обозначения и при необходимости примените ω = 2πν.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны свободные и затухающие колебания, амплитуда, период, частота, циклическая частота и уравнение гармонического движения. Эти понятия позволяют различать собственные и внешние характеристики движения.

Уравнение вынужденных колебаний выводится из законов Ньютона с учётом упругой силы, сопротивления и внешней силы. Его решение показывает, почему движение распадается на затухающую переходную и установившуюся составляющие.

Дальше идея резонанса встречается в механике, электрических цепях переменного тока, акустике и радиотехнике. Она также используется при анализе и уменьшении вредных вибраций машин, зданий и мостов.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой.
• В установившемся режиме частота системы равна частоте вынуждающей силы.
• Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешнего воздействия и сопротивления.
• Резонанс возникает при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы.
• Чем меньше сопротивление, тем выше и уже резонансный пик.
• Переходные колебания со временем затухают, поэтому остаются установившиеся колебания.
• Фаза колебаний системы относительно внешней силы изменяется с частотой воздействия.